3. Непрерывное начисление процентов

Наращенная сумма при m→∞ (промежуток времени между начислениями стремиться к 0)

Заменим номинальную процентную ставку j при m→∞ на - силу роста: _.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок:

Связь дискретных и непрерывных ставок находится приравниванием соответствующих множителей наращения:

_{Пример:}

_{Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная ей сила роста?}

_{Решение:}

_{То есть эквивалентная сила роста равна 13, 976 %.}

4. Потоки платежей

- ряд последовательных выплат (отрицательные величины) и поступлений (положительные величины), характеризующиxся наращенной суммой и современной величиной.

Наращенная сумма потока платежей – сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Современная величина потока платежей – сумма всех членов потока, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Финансовая рента (аннуитет) – поток платежей через равные промежутки времени, все члены которого положительные величины.

Член ренты – величина каждого отдельного платежа, период ренты – интервал времени между двумя соседними платежами, срок ренты – время от начала ренты до конца её последнего периода, процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент:

1. В зависимости от продолжительности периода ренты делятся на годовые и р-срочные (р – число выплат в году).

2. По числу начислений процентов различают ренты с начислением 1 раз в году, m раз или непрерывно (моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей).

3. По величине членов ренты различают постоянные (с равными членами ренты) и переменные ренты (в этом случае желательно задать закон, по которому она изменяется).

4. По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.

5. По числу членов различают ренты с конечным числом членов (ограниченные) и бесконечные (вечные).

6. В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или др. моменту времени, ренты делятся на немедленные (срок ренты начинается сразу) и отсроченные (срок ренты запаздывает).

7. По моменту выплат платежей ренты делятся на обычные или постнумерандо (платежи осуществляются в конце каждого периода) и пренумерандо (выплаты в начале каждого периода). Могут быть с выплатами в середине периода.

Обычная годовая рента. Если в конце каждого года в течение n лет вносить по R руб. на счёт, а сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i, то наращенная сумма:

где - коэффициент наращения ренты (м.б. табличный).

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые по сложной годовой ставке 12% раз в год начисляются проценты. Какая сумма будет на счёте к концу указанного срока?

Решение:

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Пусть платежи делаются 1 раз в год, а проценты начисляются m раз в году (то есть каждый раз начисляются проценты j/m), j – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты:

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые ежеквартально (m=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 12%. Какая сумма будет на счёте к концу указанного срока?

Решение:

Рента р-срочная, m=1. Рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года. R – годовая сумма платежа, R/p – однократный платёж.

где - коэффициент наращения р-срочной ренты, m=1.

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчёта 500 000 руб. в год, на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счёте к концу указанного срока?

Решение:

Рента р-срочная, р=m. Если начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени, то р=m и по аналогии с годовой рентой с одноразовым начислением процентов

.

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчёта 500 000 руб. в год, на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счёте к концу указанного срока?

Решение:

руб.

Р-срочная рента, р≥1, m≥1. (p≠m)

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчёта 500 000 руб. в год, на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счёте к концу указанного срока?

Решение:

руб.

Формула современной величины.

Обычная годовая рента. R – ежегодная рента, i – процентная ставка, которые начисляются 1 раз в конце года, n – срок ренты.

- последовательность дисконтированных величин. Их сумма:

,

где - коэффициент привидения ренты.

Пример:

В течение 5 лет на счёт в конце каждого года поступают платежи по 500 000 руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке 12% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение:

руб.

Рента р-срочная, р≥1, m≥1. Для произвольных р и m:

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты (р=1, m=1):

А- современная величина годовой ренты постнумерандо,

где - коэффициент наращения ренты.

- коэффициент привидения ренты.

Определение параметров финансовой ренты. Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной S и А остальные параметры ренты: (p, m- задаются по согласию сторон), R, n, i-? Два из них задаются, третий надо найти.

Например, R-?

n-?

i-? находим приближённо