7.2.5. Число узлов связанных состояний.

Лемма: Пусть y₁(x), y₂(x) — решения уравнения Шредингера (1) при ℰ=ℰ₁ и ℰ=ℰ₂ соответственно, причем ℰ₂>ℰ₁.

Тогда, если a,b є [-∞, +∞] - два последовательных нуля функции y₁, то на промежутке (a, b) существует хотя бы один ноль решения y₂.

Доказательство:

Из следствия 1 теоремы об определителе Вронского получаем:

(y₂ y₁')|_a^b = (ℰ₂ - ℰ₁)∫_a^b y₁y₂ dx (60)

Решение y₁ сохраняет знак на (a,b).

Пусть, для определенности, y₁>0 там.

Тогда y₁'(a)>0, y₁'(b)<0. Отсюда и следует, что y₂ имеет хотя бы один ноль на (a,b), так как в противном случае левая и правая части в (60) имели бы значения разных знаков.

Что и требовалось.

Пусть теперь y₁ y₂ из леммы — собственные функции дискретного спектра. Обе они обращаются в 0 на границах интервала (-∞, +∞). Если y₁ имеет n₁ узлов на (-∞, +∞), то есть n₁ нулей без учета крайних точек интервала, то ими весь интервал делится на n₁+1 подынтервала, на каждом из которых согласно лемме есть хотя бы по узлу собственной функции y₂, то есть на (-∞, +∞) y₂ имеет по крайней мере n₁+1 узлов. Можно показать (а мы примем это без доказательства ), что имеет место следующее утверждение:

Пусть ℰ₁<ℰ₂<... - весь дискретный спектр, а n(ℰ_k) обозначает число узлов на (-∞, +∞) собственной функции собственного числа ℰ_k.

Тогда n(ℰ_k) = k-1 и между любыми соседними узлами собственной функции y_k есть хотя бы один узел любой собственной функции с большим номером.

7.2.6. Ортогональность собственных функций дискретного спектра.

Предложение 1. Пусть y₁, y₂ – собственные функции соответствующие каким-то двум различным собственным числам дискретного спектра.

Тогда

∫_-∞^+∞ y₁y₂ dx = 0 (61)

Доказательство. Упражнение 1

Указание: используйте следствие 1 теоремы об определителе Вронского при a=-∞, b=+∞.