7.2.3. Структура спектра.

Пусть, для определенности,

U₊ = lim_x→+∞U(x) < U_- = lim_x→-∞U(x) (46)

и рассмотрим три случая:

(а) ℰ>U_- , (b) U_- > ℰ > U₊ , (c) U₊ > ℰ

Случай (а). Согласно (46) видим, что

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀)U(x₀, +∞) ) (ℰ > U(x)) (47)

(иначе говоря, ℰ > U(x) на концах интервала (-∞, +∞) ), то есть выполнено условие 1 предположения А п.7.2.2. Пусть выполнено и условие 2 этого предположения. Тогда, как мы доказали, всякое решение уравнения (1) ограничено и, стало быть, допустимо в качестве собственной функции. Это означает, что ℰ - двукратно вырожденное собственное значение.

Таким образом, спектр ℰ > U_- - непрерывный и вырожденный. Так как, согласно упомянутому предложению, в обеих асимптотических областях (-∞, -x₀), (x₀, +∞) собственные функции бесконечное число раз осциллируют между конечными пределами, то собственные значения соответствуют несвязанным состояниям «частицы».

Случай (b). Согласно (46) получаем, что

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀) ) (ℰ < U(x)), (48)

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (x₀,+∞) ) (ℰ > U(x)), (49)

то есть выполнены условие 1 предложения А (при x→+∞) и условие (23) предложения Б (при x→-∞).

Как и в случае (а) считаем, что выполнено и условие 2 предложения А (при x→+∞).

Из этих предложений следует, что существует только одно ограниченное решение (оно экспоненциально убывает) в области

(-∞,x₀), оно остается ограниченным и бесконечное число раз осциллирует в области (x₀, +∞).

Таким образом, спектр U₊ < ℰ <U_- непрерывный и невырожденный. Все состояния несвязанные.

Случай (с). Опять таки, согласно (46)

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀)U(x₀,+∞) ) (ℰ < U(x)), (50)

то есть выполнено условие (23) предложения Б (как при x→-∞, так и при x→+∞).

Отсюда следует, что при каждом ℰ в рассматриваемом сейчас случае существует единственное ограниченное в области (x₀,+∞) решение ₊(x, ℰ) и единственное ограниченное в области (-∞, x₀) решение

_-(x, ℰ) (единственность понимается с точностью до постоянных множителей для каждого решения). Эти решения ₊(x, ℰ) и _-(x, ℰ) стремятся экспоненциально к 0 при x→+∞ и x→-∞ соответственно. Это в частности означает, что для каждого ℰ, если собственная функция существует, то представляет связанное состояние.

Что касается существования собственных функций при данном ℰ, то для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство

f_-(x₀,ℰ) = f₊(x₀,ℰ), (51)

где f_-, f₊ - логарифмические производные функций ₊ и _-, а x₀ –любая точка из (-∞, +∞), в которой f_-, f₊ непрерывны.

Пользуясь следствием 3 теоремы п.7.2. (или как-то иначе) можно показать (а мы примем это без доказательства), что равенство (51) может выполняться только для дискретного набора (изолированных) значений ℰ, то есть в рассматриваемом случае спектр дискретный.

7.2.4. Состояния непрерывного спектра. Отражение и прохождение волн.

Рассмотрим случай (а) предыдущего пункта. В этом случае (непрерывный дважды вырожденный спектр) движение «квантовой частицы» можно интерпретировать движением частично проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле потенциала U(x).

Согласно предложению А п.7.2.2. (и аналогичным результатам при x→-∞ ) эти пакеты можно строить по собственным функциям имеющим асимпт. формы двух типов:

u~_x→-∞ exp(ik_-x) + R_u exp(- ik_-x),

u~_x→-∞ S_u exp(ik₊x), (52)

и

v~_x→-∞ S_v exp(- ik_-x),

v~_x→+∞ exp(- ik₊x) + R_v exp(ik₊x), (53)

где

k₊ = √(ℰ-U₊)

k_- = √(ℰ-U_-) (54)

Соответствующие пакеты идентичны, но распространяются в противоположных направлениях. Используя, как и ранее (см. п..7.1.5.) обозначение 𝒫(^.) для волнового пакета вида (38) обсудим движение его для первого типа - собственных функций (52) (для второго типа рассмотрение и результаты аналогичны).

П

Решение типа u:

пакет приходит со стороны x=-∞

Решение типа v:

пакет приходит со стороны x=+∞

акет 𝒫( exp(ik_-x) ) движется из x=-∞ вправо, попадает в зону действия потенциала U(x) и разделяется на отраженный пакет 𝒫(R_u exp(-ik_-x) ), движущийся в противоположном направлении, и прошедший пакет 𝒫(S_u exp(ik₊x) ), распространяющийся в направлении x=+∞.

В случае прямоугольных потенциалов нам всегда удавалось найти постоянные, аналогичные R_u, S_u, R_v, S_v.

Здесь потенциал не задан определенно, а только представлен своими асимптотическими формами. Вид этих форм и следствие 2 теоремы об определителе Вронского позволяют получить ряд соотношений для этих постоянных.

Действительно, так как u, v и их сопряженные u*, v* удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера, то применяя упомянутое следствие 2 к парам (u, u*), (v, v*), (u, v), (u, v*), (v, u*), (u*, v*) и учитывая, что

W( exp(ikx), exp(ikx) ) = W( exp(-ikx), exp(-ikx) ) = 0,

W( exp(-ikx), exp(ikx) ) = 2ik, (55)

получаем:

i/2 W(u,u*) = k_-(1-|R_u|²) = k₊|S_u|², (56)

i/2 W(v,v*) = -k_-|S_v|² = -k₊(1-|R_v|²), (57)

i/2 W(u,v) = k_-S_v = k₊S_u, (58)

i/2 W(u,v*) = -k_-R_uS_v* = k₊S_uR_v* (59)

Остальные два соотношения оказываются комплексно сопряженными к соотношениям (58), (59).