9.4. Способи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, які мають сталі коефіцієнти

Звичайні диференціальні неоднорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти, мають вигляд

,

де p, q − дійсні числа.

Якщо в цьому поданні диференціальних рівнянь , то маємо диференціальні однорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти.

Розглянемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку, в якого коефіцієнти є сталі, а саме:

.

Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд

,

де та – лінійно незалежні частинні інтеграли цього рівняння, вигляд яких визначається в залежності від коренів відповідного характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному диференціальному рівнянню, має вигляд

і складається виходячи з заданого однорідного диференціального рівняння за таким правилом: другій похідній відповідає квадрат деякої невідомої , першій похідній відповідає змінна в першому степені , а функції відповідає змінна в нульовому степені, а коефіцієнти переносяться без змін.

Якщо характеристичне рівняння має дійсні різні корені та , то частинні інтеграли мають вигляд

,

та загальний інтеграл такого однорідного диференціального рівняння є

.

Якщо характеристичне рівняння має кратні дійсні корені , то загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння є

.

Якщо характеристичне рівняння має комплексно сполучені корені

, , то

.

Задача 9.11. Визначити загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння та визначимо його корені. Маємо

,

що видно з теореми Вієта.

Тоді розв’язок диференціального рівняння, яке подано до розгляду, має вигляд

.

Задача 9.12. Визначити загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Маємо характеристичне рівняння

, та ; .

Тоді загальний інтеграл зазначеного диференціального однорідного рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, тобто

.

Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд , де Y – загальний інтеграл (загальне розв’язання) відповідного однорідного диференціального рівняння, а – частинний інтеграл (частинне розв’язання) неоднорідного диференціального рівняння.

Частинний розв’язок визначається в залежності від вигляду правої частини неоднорідного диференціального рівняння.

1. Якщо , де – довільний многочлен та не збігається з коренями та характеристичного рівняння, то

,

де – многочлен, степінь якого збігається із степенем многочлена та має невідомі коефіцієнти, які визначаються за методом невизначених коефіцієнтів.

2. Якщо та – простий корінь характеристичного рівняння, то

.

3. Якщо та – кратний корінь характеристичного рівняння, то

.

Задача 9.13. Визначити загальний інтеграл диференціального рівняння .

Розв’язання. Подане до розв’язання диференціальне рівняння є неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку, яке має сталі коефіцієнти та праву частину спеціального вигляду, а сама права частина складається із многочлена та степеневої функції.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння є

,

тоді ; ,

тобто корінь характеристичного рівняння є кратним, тому загальне розв’язання однорідного рівняння має вигляд

.

При визначенні частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння звернемо увагу на те, що якщо , як уже відзначалось, є сума многочлена та добутку многочлена на степеневу функцію , то частинний розв’язок буде також складатись із суми двох відповідних частинних розв’язків: , де ; , де та не є коренем характеристичного рівняння, тобто . Визначимо коефіцієнти А, В, С.

Маємо ; , тоді після підстановки в рівняння маємо

;

;

.

Порівнюємо коефіцієнти та будемо мати , , .

Тому

,

а загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

.

У загальному випадку права частина неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, коефіцієнтами якого є сталі, може мати вигляд

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння визначається в залежності від того, чи є комплексне число коренем характеристичного рівняння, чи ні, а саме:

1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок має вигляд

.

2. Якщо є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок має вигляд

.

Зауваження:

1. Многочлени та , які записуються з невизначеними коефіцієнтами, мають степені, які визначаються більшим степенем многочленів та .

2. Якщо або , то частинний розв’язок слід визначати у відповідності до загальних виразів, які зазначені вище в п. 1 та 2.

3. Якщо , то за умови, що не є коренем характеристичного рівняння,

,

а за умови, що є коренем характеристичного рівняння,

.

Задача 9.14. Визначити загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Загальний розв’язок , де Y – загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння, а – частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

Маємо, що однорідне рівняння , якому відповідає характеристичне рівняння , що має корені , має загальний розв’язок

.

Права частина диференціального рівняння, яке розглядається, , дає підстави частинний розв’язок визначати як , де – частинний розв’язок, який визначається , а – частинний розв’язок, який визначається . Маємо , оскільки та не є коренем характеристичного рівняння, , оскільки не є коренем характеристичного рівняння.

Тоді .

Визначимо загальний розв’язок диференціального рівняння, яке розглядається. Маємо

.

Для визначення коефіцієнтів А, В та С розглянемо такі похідні та систему рівнянь:

;

;

;

Маємо ; ; .

Тоді загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд

.

Доцільно відзначити, що за необхідності розв’язання диференціального рівняння послідовність формування міркувань щодо його розв’язання може відповідати такій послідовності. Перш за все слід визначити, яке диференціальне рівняння розглядається. Якщо воно є звичайним диференціальним рівнянням першого порядку, то в подальшому необхідно з’ясувати: чи воно є рівнянням, яке допускає відокремлення змінних; чи є однорідним; чи воно є лінійним; чи воно є рівнянням Бернуллі. Після визначення, до якого типу належить диференціальне рівняння, потрібно застосувати відповідні способи визначення його розв’язку. Якщо задане диференціальне рівняння є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, коефіцієнти якого є сталими, то перш за все необхідно з’ясувати, чи воно є однорідним, чи неоднорідним. У залежності від такого визначення слід застосувати способи визначення загального розв’язку рівняння, яке для однорідного диференціального рівняння відповідає змісту коренів характеристичного рівняння, а для неоднорідного відповідає змісту коренів характеристичного рівняння та змісту виразу його правої частини.