Домашнє завдання
У таблиці відмітити знаком “+” властивості, присутні для вказаних класів відношень:
КЛАСИ ВІДНОШЕНЬ |
ВЛАСТИВОСТІ |
||||
рефлексивн. |
антирефлекс. |
симетричн. |
антисиметр. |
транзитивн. |
|
Еквівалентність |
|
|
|
|
|
Строгий порядок |
|
|
|
|
|
Строгий лінійний порядок |
|
|
|
|
|
Нестрогий порядок |
|
|
|
|
|
Нестрогий лінійний порядок |
|
|
|
|
|
Дослідити відношення
за схемою, заданою вище.Робота з індивідуальним завданням.
Література
Завало С.Т., Костарчук В.М., Харцет В.І. Алгебра і теорія чисел. Частина 1. – К.: Вища школа, 1971. – С.84-95.
Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки. – К.: Радянська школа, 1977. – С. 42-67.
Комп’ютерна дискретна математика: Підручник / Бондаренко М.Ф.,
Білоус Н.В., Руткас А.Г. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. – 480 с.
Компьютерная дискретная математика: Учебник / Бондаренко М.Ф.,
Белоус Н.В., Руткас А.Г. – Харьков: «Компания СМИТ», 2004. – 480 с.
Тема 3. Графи
Перша робота з теорії графів належала Ейлеру, з'явилася в 1736 році. Спочатку ця теорія була пов'язана з математичними головоломками і іграми. Однак згодом теорія графів стала використатися в топології, алгебрі, теорії чисел. У наш час теорія графів знаходить застосування в найрізноманітніших галузях науки, техніки й практичної діяльності. Вона використається при проектуванні електричних мереж, плануванні транспортних перевезень, побудові молекулярних схем. Застосовується теорія графів також в економіці, психології, соціології, біології.
3.1. Основні характеристики графів
Граф G - це математичний об'єкт, що складається із множини вершин X = {x1, x2,..., xn} і множини ребер A = {a1, a2,..., an}. Таким чином, граф повністю визначається сукупністю множин X, A: G = (X, A).
Для багатьох задач несуттєво, чи є ребра відрізками прямих або криволінійних дуг; важливо лише те, які вершини з'єднує кожне ребро.
Якщо ребрам графа додані напрямки від однієї вершини до іншої, то такий граф називається орієнтованим. Ребра орієнтованого графа називаються дугами. Відповідні вершини орієнтованого графа називають початком і кінцем. Якщо напрямку ребер не вказуються, то граф називається неорієнтованим (або просто графом).
Приклад 3.1.
На рис. 3.1 зображений неорієнтований граф G =( X, A).
X = {x1, x2, x3, x4},
A = {a1= (x1, x2), a2=(x2, x3), a3=(x1, x3), a4= (x3, x4)}.
Рис. 3.1.
Приклад 3.2.
На рис. 3.2. зображений орієнтований граф G = (X, A).
X = {x1, x2, x3, x4},
A = {a1 = (x1 , x2 ), a2 = (x1 , x3 ), a3 = (x3 , x4 ), a4 = (x3 , x2 )}.
Рис. 3.2.
Граф, що має як орієнтовані, так і неорієнтовані ребра, називається змішаним.
Різні ребра можуть з'єднувати ту саму пару вершин. Такі ребра називають кратними. Граф, що містить кратні ребра, називається мультиграфом.
Неорієнтоване ребро графа еквівалентно двом протилежно спрямованим дугам, що з'єднують ті ж самі вершини.
Ребро може з'єднувати вершину саму із собою. Таке ребро називається петлею. Граф із кратними ребрами й петлями називається псевдографом.
Множина ребер графа може бути порожнім. Множина вершин графа не може бути порожнім.
Приклад 3.3.
На рис. 3.3. зображений орієнтований граф G = (X, A).
X = {x1 , x2 , x3 , x4 },
A
=
.
Риc. 3.3.
Як у випадку орієнтованого, так й у випадку неорієнтованого ребра говорять, що вершини x й y інцидентні ребру a, якщо ці вершини з'єднані a.
Дві вершини називаються суміжними, якщо вони інцидентні тому самому ребру. Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають загальну вершину.
Степеню вершини графа називається число ребер, інцидентних цій вершині. Вершина, що має ступінь 0, називається ізольованою, а ступінь 1 – висячою.
Для орієнтованого графа множина вершин, у які ведуть дуги, що виходять із вершини х, позначають G(х), тобто G(х) = { y: ( x y ) G}. Множина G(x) називають образом вершини x. Відповідно G-1(у) – множина вершин, з яких виходять дуги, що ведуть у вершину в, G-1(y) = {x: ( x , y ) G}. Множина G-1(у) називають прообразом вершини y.
Приклад 3.4.
У графі, зображеному на рис. 3.1, кінцями ребра a1 є вершини x1, x2; вершина x2 инцидентна ребрам a1, a2; ступінь вершини x3 дорівнює 3; вершини x1 й x3 суміжні; ребра a1 й a2 суміжні; вершина x4 висяча. В орієнтованому графі, зображеному на рис. 3.2, початком дуги a1 є вершина x1, а її кінцем - вершина x2; вершина x1 инцидентна дугам a1 і a2; G(x1) = {x2, x3}, G(x2) =Æ, G-1(x3) = {x1}, G-1(x1) = Æ.
Підграфом неорієнтованого графа G називається граф, всі вершини й ребра якого втримуються серед вершин і ребер графа G. Аналогічно визначається підграф орієнтованого графа. Підграф називається власним, якщо він відмінний від самого графа,
Граф G = (X, A) - повний, якщо для будь-якої пари вершин xi й xj існує ребро (xi, xj).
Граф G = (X, A) - симетричний, якщо для будь-якої дуги (xi, xj) існує протилежно орієнтована дуга (xj, xi).
Граф G = (X, A) - планарний, якщо він може бути зображений на площині так, що не буде пересічних дуг.
Неорієнтований граф G = (X, A) – двочастковий, якщо множина його вершин X можна розбити на дві такі підмножини X1 й X2, що кожне ребро має один кінець в X1, а іншої в X2.