4 Вопрос. Классическое определение вероятности события

Вероятность- - это численная мера степени объективной возможности.

Вероятностью появления случайного события А называется отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех благоприятствующих и не благоприятствующих исходов (шансов) (или к общему числу всех равновозможных, единственно возможных и несовместных элементарных исходов).

, где Р(А) - вероятность наступления события А,

М - целое неотрицательное число, 0≤ М ≤ N

Классическое определение было сформулировано Лапласом в XV11 веке .

5 Вопрос. Свойства вероятностей.

1 .Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1 , т.е 0 ≤ Р(А) ≤ 1

2. Вероятность достоверного события всегда равна 1

P(Ω)=1, т.к. M=N → P(Ω) = N/N=1

3. Вероятность невозможного события всегда равна 0 .

P(Ø)=0, т.к. M=0 → P(Ø) =0/N=0

Важным достоинством классического определения вероятности события является то, что с его помощью можно определить вероятность, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Задача 1. В ящике находится 10 бракованных деталей и 15 годных деталей, которые тщательно перемешены. Найти вероятность того, что случайно (наугад, наудачу) извлеченная деталь будет годная.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в появлении годной детали Общее число исходов (шансов) равно общему числу деталей, т.е. 25 (N=25); число исходов, благоприятствующих появлению годной детали, равно 15 (М=15).

Следовательно, P(A)=M/A=15/25=3/5

Задача 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков?

Решение: Событие В - выпадение четного числа очков.

М - число граней с четным числом очков (2, 4, 6, т.е. М=3)

N - число всех граней игральной кости (N=6)

6 Вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.

Наряду с понятием вероятности одним из основных понятий ТВ является понятие относительной частоты. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Относительная частота называется иначе частостью.

Относительная частота появления события А определяется формулой:

где т - число появлений события А

п - общее число испытаний.

Пример: Производиться 100 выстрелов по мишени, при этом имеет место 98 попаданий. 98 - это частота, а 98/100 - это частость.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности. Таким образом, вероятность отличается от частости тем,что вероятность вычисляется до опыта., а частость - после многократных испытаний, произведенных фактически. Вероятность иначе называется априорной величиной, а частость - апостериорной величиной, т.е. вычисленной после опыта.

С увеличением числа опытов частость проявляет тенденцию стабилизироваться, т.е. проявлять устойчивость, приближение к некоторому постоянному числу. Это число называется статистической вероятностью.

Проиллюстрируем это свойство примерами. Кто и когда проделал первый опыт с монетой -неизвестно. Однако точно известно, что в XVIII столетии французский ученый Бюффон, подбрасывая монету 4040 , убедился в том, что герб выпал 2048 раз (W(A)=0,5069). В начале XX века математик Пирсон подбросил монету 24000 раз: герб выпал 12012 раз (W(A)=0,5005). Примерно 20 лет назад американские ученые повторили этот опыт. Они подбросили монету 10000 раз, при этом герб выпал 4979 раз (W(A)=0,4979).Таким образом, результаты бросаний монеты, несмотря на их случайный характер в каждом отдельном испытании, при неоднократном повторении подчиняются объективному закону.

Отсюда вытекает необходимость статистического определения вероятности, в соответствии с которым под вероятностью события понимается относительная частота появления события А в n производимых опытах. Статистическая вероятность определяется эмпирически по результатам опытов следующим образом:

Итак, статистическое определение предполагает, что за вероятность события А принимается постоянная величина, около которой группируются наблюдаемые значения частоты. Практика показала, что статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е.

P*(A) ≈ P(A)

Математическую формулировку закономерности, состоящей в сближении численных значений P*(A) и P(A) при увеличении числа опытов n, впервые дал Яков Бернулли. Подробнее эта закономерность будет рассмотрена при изучении темы «Закон больших чисел - ЗБЧ»

Принцип практической возможности (уверенности).

Ранее было показано, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного равна 0. Однако на практике приходится сталкиваться с событиями, вероятности которых не точно равны 1 или 0 , а весьма близки к этим значениям. Первые из них называются практически достоверными, а вторые - практически невозможными. Если события имеют такие вероятности , то можно предсказать результат опыта, опираясь на принцип практической уверенности, который заключается в следующем: если вероятность события А в данном опыте мала, то можно быть практически уверенным в том, что при одинаковом выполнение этого опыта событие А не произойдет.