9

Раздел 1: теория вероятностей

Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей

1 вопрос. Предмет теории вероятностей.

2 вопрос. Основные понятия и определения теории вероятностей.

3вопрос. Классификация событий.

4вопрос. Классическое определение вероятности события.

5вопрос. Свойства вероятностей.

6 вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.

1 вопрос. Предмет теории вероятности.

Теория вероятностей является разделом математики, выросшим из потребностей практики и развившимся в обширную и глубокую теорию, имеющую многочисленные непосредственные приложения к точному естествознанию, технике, экономике и других наук.

Понятие вероятности в течение длительного времени привлекало внимание философов и математиков. А вообще возникновение науки о вероятности (теории вероятностей) тесно связано с широким распространением азартных игр (карты, кости) в середине XVII столетия. В связи с чем возникла потребность определения возможности (вероятности) выигрыша. Однако азартные игры не долго оставались сферой применения ТВ. Уже в XIX веке в период своего расцвета ТВ начала успешно использоваться в страховом деле, статистике народонаселения и других науках. В настоящее время ТВ обогащается за счет развития прикладных исследований.

Итак, прежде, чем мы рассмотрим концепцию вероятности, отметим, что ТВ – это математическая наука, изучающая массовые случайные явления: случайные события, случайные величины, случайные прочесы. Говоря иначе, ТВ – это наука о случайном.

Случайным явлением называется все то, что заранее нельзя гарантировать, все то, что нарушает нормальных ход событий. Случайные явления (СЯ) делятся на единичные СЯ и СЯ массового характера. ТВ изучает с количественной стороны закономерности случайных явлений массового характера. При этом значение ТВ в изучении случайных явлений состоит в том, что ТВ позволяет предвидеть, как эти явления будут протекать в дальнейшем, т.е. в будущем. В настоящее время ТВ широко применяется в различных областях науки и техники – в статистики, экономике, биологии, физике и т.д.

2 Вопрос. Основные понятия и определения теории вероятностей.

Одним из основных понятий ТВ является понятие события.

Событие- это всякий факт материального мира, который может иметь место, а может и не иметь. Это любой факт, который может произойти в результате опыта, или испытания.

Испытание (опыт, эксперимент) - это реализация определённого комплекса условий. Например: если осуществляется стрельба по мишени, то в этом случае выстрел - это испытание, опыт; а попадание или не попадание в цель - это событие. Таким образом, событие - это результат или исход испытания. Можно привести бесчисленное множество подобных примеров: (бросание монеты, появление бракованных изделий).

Событие обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита: А, В, С, D, E и т.д.

3 Вопрос. Классификация события.

1. Случайное событие - это событие, результат которого точно невозможно предугадать. Случайное событие может произойти, а может и не произойти в результате испытания. В качестве примера можно привести бросание монеты: выпадение при этом герба или цифры - случайное событие .

2. Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например , если мы подбросим вверх камень , то. он обязательно упадет на Землю в силу действия определенных физических законов , т.е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверное событие обозначается Ω

3. Невозможное событие - это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Так, если у нас имеется коробка с карандашами, то извлечение из этой коробки ручки является событием невозможным. Обозначается Ø (пустое множество). Достоверные и невозможные события в общем не являются случайными.

4. События совместные. Несколько событий называются совместными, если в условиях испытания (опыта) возможно их совместное появление. Например: при бросании 2-х монет выпадение цифры на одной монете не исключает возможности появление цифры на другой монете, т.е. выпадение цифр на 2-х монетах одновременно - события совместные.

5. События несовместные. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе, или если появление одного из них исключает возможность появления других. Например : если имеется совокупность деталей 1-го и 2-го сорта, и из этой совокупности отбирается одна деталь, то событие, состоящее в том, что она окажется 1 - го сорта, и событие, состоящее в том, что она окажется 2 - го copтa - несовместные .

6. Единственно возможные события. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут). Например: при бросании монеты хотя бы одна ее сторона обязательно выпадет.

7. Равновозможные события. События называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании монеты появление каждой из ее сторон - события равновозможные .

8. Противоположные события. Два события называются противоположными, если одно из них состоит в не наступлении другого. Например: при стрельбе - попадание и промах. Если мы обозначим попадание в мишень как событие А, то промах будет обозначаться Ā. Противоположными также называются два единственно возможных и несовместных события.

9. Совокупность всех единственно возможных, всех равновозможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Необходимо заметить, что рассматривая и изучая различные типы событий, ТВ часто оперирует абстрактными или идеальными предметами. К таким предметам относятся монеты, игральные кости, игральные карты, шары и др. Основным свойством этих предметов является практическая их неразличимость между собой (т.е. между собой 2-х монет ; или 2-х шаров и т.д.).