
- •· Означення та властивості векторного добутку
- •§ 33. Мішаний добуток і подвійний векторний добуток геометричних векторів · Означення та властивості мішаного добутку
- •· Вираження векторного та мішаного добутків за допомогою декартових координат
- •· Подвійний векторний добуток і тотожність Лагранжа
- •§ 34. Добутки векторів у тривимірному просторі Евкліда · Означення векторного та мішаного добутків у e3
- •· Властивості векторного добутку двох векторів простору
- •· Властивості мішаного добутку двох векторів простору
- •4.35. Властивість.
- •· Перехід від одного орієнтованого базису до іншого
- •§ 35. Обчислення мішаних і векторних добутків векторів, заданих у довільних базисах
- •§ 36. Символи Леві – Чивіта · Означення символів Леві – Чивіта
- •· Властивості символів Леві – Чивіта
- •4.48. Властивість.
- •4.49. Властивість.
- •· Запис векторного, мішаного та подвійного векторного добутків за допомогою символів Леві – Чивіта
· Властивості векторного добутку двох векторів простору
Унаслідок означення (4.12) основні властивості векторного добутку в просторі безпосередньо випливають із властивостей координат векторів, матриць та їх визначників. Тому, ці властивості можна подати без спеціального доведення.
4.30. Властивість. Векторний добуток є антикомутативним, тобто
4.31. Властивість. Векторний добуток є дистрибутивним, тобто
4.32. Властивість.
Векторний добуток є асоціативним
відносно скаляра, тобто
4.33. Властивість.
тоді й лише тоді, коли вектори x
та
y лінійно
залежні.
4.34. Зауваження. Властивості 4.30 – 4.33 притаманні й геометричним векторам, оскільки колінеарні вектори є лінійно залежними, і навпаки.
· Властивості мішаного добутку двох векторів простору
Перелічимо основні властивості мішаного добутку, що випливають з означення (4.13).
4.35. Властивість.
4.36. Властивість. Мішаний добуток є дистрибутивним, тобто
4.37. Властивість.
Мішаний добуток є асоціативним відносно
скаляра, тобто
4.38. Властивість.
тоді і лише тоді, коли вектори-співмножники
утворюють лінійно залежну систему.
Зазначимо,
що вектори базису
і взаємного до нього базису
пов'язані між собою такими співвідношеннями:
а також
&Дійсно,
з поданих співвідношень миттєво отримуємо
рівності
які є означенням взаємних базисів (пор.
з (3.11)).%
4.39. Зауваження. Властивості 4.35 – 4.38 притаманні, як і має бути, геометричним векторам, оскільки компланарні вектори є лінійно залежними, і навпаки.
· Перехід від одного орієнтованого базису до іншого
Як
було показано
в §
23
, перехід
від базису
до базису
характеризується матрицею переходу T
з елементами
і здійснюється за допомогою формули
або еквівалентного до неї матричного
співвідношення (3.6). Елементи матриці
переходу є координатами векторів
у базисі
(властивість 2.56).
4.40. Властивість. Визначник матриці переходу між двома орієнтованими базисами є додатним, коли орієнтованість обох базисів однакова, і від'ємним, коли базиси мають різну орієнтацію.
& Спочатку доведемо дане твердження для випадку, коли базис – правий ортонормований. У такому разі він є тим базисом, про який йдеться в означенні 4.25, тому згідно з (4.13)
Якщо
базис
орієнтований однаково з
,
тобто також правий,
а отже,
Якщо орієнтація базисів
та
різна, то
– лівий, а тому
що й доводить твердження теореми.
Нехай тепер вихідний базис є правим,
але не є ортонормованим. Перейдемо від
цього базису до допоміжного правого
ортонормованого базису
Цей перехід характеризується матрицею
,
причому вже доведено, що
а тому
Тепер здійснимо перехід від правого
ортонормованого базису
до базису
за допомогою відповідної матриці
.
Уже доведено, що
коли
– правий, і
коли він лівий. Визначник матриці
переходу від
до
дорівнює
і його знак збігається зі знаком
тобто
коли
– правий і
коли він лівий, що й доводить теорему.%
Доведення теореми для лівого вихідного базису цілком подібне до попереднього, з тією відмінністю, що визначник переходу до допоміжного базису – від'ємний. Читачеві може бути корисним провести це доведення самотужки.%