· Властивості векторного добутку двох векторів простору

Унаслідок означення (4.12) основні властивості векторного добутку в просторі безпосередньо випливають із властивостей координат векторів, матриць та їх визначників. Тому, ці властивості можна подати без спеціального доведення.

4.30. Властивість. Векторний добуток є антикомутативним, тобто

4.31. Властивість. Векторний добуток є дистрибутивним, тобто

4.32. Властивість. Векторний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто

4.33. Властивість. тоді й лише тоді, коли вектори x та y лінійно залежні.

4.34. Зауваження. Властивості 4.30 – 4.33 притаманні й геометричним векторам, оскільки колінеарні вектори є лінійно залежними, і навпаки.

· Властивості мішаного добутку двох векторів простору

Перелічимо основні властивості мішаного добутку, що випливають з означення (4.13).

4.35. Властивість.

4.36. Властивість. Мішаний добуток є дистрибутивним, тобто

4.37. Властивість. Мішаний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто

4.38. Властивість. тоді і лише тоді, коли вектори-співмножники утворюють лінійно залежну систему.

Зазначимо, що вектори базису і взаємного до нього базису пов'язані між собою такими співвідношеннями:

а також

&Дійсно, з поданих співвідношень миттєво отримуємо рівності які є означенням взаємних базисів (пор. з (3.11)).%

4.39. Зауваження. Властивості 4.35 – 4.38 притаманні, як і має бути, геометричним векторам, оскільки компланарні вектори є лінійно залежними, і навпаки.

· Перехід від одного орієнтованого базису до іншого

Як було показано в § 23 , перехід від базису до базису характеризується матрицею переходу T з елементами і здійснюється за допомогою формули або еквівалентного до неї матричного співвідношення (3.6). Елементи матриці переходу є координатами векторів у базисі (властивість 2.56).

4.40. Властивість. Визначник матриці переходу між двома орієнтованими базисами є додатним, коли орієнтованість обох базисів однакова, і від'ємним, коли базиси мають різну орієнтацію.

& Спочатку доведемо дане твердження для випадку, коли базис – правий ортонормований. У такому разі він є тим базисом, про який йдеться в означенні 4.25, тому згідно з (4.13)

Якщо базис орієнтований однаково з , тобто також правий, а отже, Якщо орієнтація базисів та різна, то – лівий, а тому що й доводить твердження теореми. Нехай тепер вихідний базис є правим, але не є ортонормованим. Перейдемо від цього базису до допоміжного правого ортонормованого базису Цей перехід характеризується матрицею , причому вже доведено, що а тому Тепер здій­снимо перехід від правого ортонормованого базису до базису за допомогою відповідної матриці . Уже доведено, що коли – правий, і коли він лівий. Визначник матриці переходу від до дорівнює і його знак збігається зі знаком тобто коли – правий і коли він лівий, що й доводить теорему.%

Доведення теореми для лівого вихідного базису цілком подібне до попереднього, з тією відмінністю, що визначник переходу до допо­міжного базису – від'ємний. Читачеві може бути корисним провести це доведення самотужки.%