Частина 4

ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

І ПОВ'ЯЗАНІ З НИМ ДОБУТКИ

§ 32. Векторний добуток геометричних векторів

· Орієнтованість трійки геометричних векторів

4.1. Означення. Упорядковану трійку приведених до спільного початку некомпланарних векторів геометричного простору називають правоорієнтованою (або правою), коли найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється в напрямку руху годинникової стрілки, якщо дивитись на площину векторів від кінця вектора В оберненому випадку трійку векторів називають лівоорієнтованою (або лівою).

4.2. Зауваження. Із даного означення випливає, що орієнтованість трійки векторів змінюється на протилежну, при переставленні двох векторів між собою, і при інверсії напрямку одного з них. При так званому циклічному переставленні векторів трійки

її орієнтованість не змінюється.

4.3. Приклад. Зазвичай орти декартової системи позначають таким чином, щоб трійка векторів була правою. Тоді трійки векторів та є лівими, а трійка – правою.

· Означення та властивості векторного добутку

4.4. Означення. Вектор c називають векторним добутком вектора a на вектор b, якщо він задовольняє три умови:

а) де – кут між a та b;

б) вектор c спрямований перпендикулярно до площини векторів a та b;

в) вектори a, b та c утворюють праву трійку (рис. 7).

Рис. 7

Існують два позначення векторного добутку: або Будемо додержуватись першого із цих позначень, оскільки друге використовується в книжках із фізики для комутатора двох математичних величин (частіше за все, матриць або операторів).

Перелічимо основні властивості векторного добутку геометричних векторів.

4.5. Властивість. Векторний добуток дорівнює нулю у двох випадках: а) коли хоча б один з векторів-співмножників дорівнює нульовому вектору; б) коли вектори-співмножники колінеарні.

& Випливає з означення 4.4.%

4.6. Зауваження. Оскільки, нульовий вектор можна вважати колінеарним з будь-яким іншим, рівність нулю векторного добутку за змістом є формальним критерієм колінеарності векторів. Застосування цього критерію спрощує розв'язання багатьох задач аналітичної геометрії та фізики.

4.7. Властивість. Модуль векторного добутку двох геометричних векторів дорівнює площі паралелограма S, сторони якого збігаються з векторами-співмножниками (рис. 8).

Рис. 8

& %

4.8. Зауваження. Коли вектори-співмножники є розмірними геометричними або фізичними величинами, то розмірність їх векторного та скалярного добутків дорівнює добутку розмірностей векторів-співмножників. Оскільки геометричні вектори мають розмірність довжини, розмірність їх добутку збігається з розмірністю площі. На відміну від цього, розмірність суми векторів дорівнює розмірності векторів-доданків. Із сказаного випливає: а) модуль векторної величини має таку саму розмірність, як і сама величина; б) не можна додавати величини, що відрізняються за розмірністю.

4.9. Зауваження. У математичному аналізі та фізиці часто розглядають поняття вектора площадки S, побудованої на двох векторах a та b, зведених до спільного початку:

4.10. Властивість. Векторний добуток є антикомутативним, тобто

& Випливає з означення 4.4 і зауваження 4.2.%

4.11. Властивість. Векторний добуток є асоціативним відносно скаляра, тобто для будь-якого скаляра .

& Випливає з означення 4.4.%

4.12. Властивість. Векторному добутку притаманна вистрибу­тивність, тобто та

&Доведення цієї властивості буде подано пізніше (див. наслідок 4.23).%

4.13. Приклад. Зважаючи на те, що орти i, j та k декартової системи координат попарно ортогональні, а векторний добуток – антикомутативний, легко вивести "таблицю векторного множення" ортів правої трійки:

(4.1)

§ 33. Мішаний добуток і подвійний векторний добуток геометричних векторів · Означення та властивості мішаного добутку

Векторний добуток геометричних векторів a та b є вектором. Роз­глянемо скалярний добуток цього вектора та вектора c, скориставшись означеннями скалярного та векторного добутків:

(4.2)

де – кут між векторами a та b , – кут між вектором c і вектором

4.14. Означення. Число називають мішаним добутком векторів a, b та c.

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Незважаючи на це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

4.15. Властивість. Мішаний добуток векторів правої трійки є додатним, а лівої – від'ємним:

&

а за означенням векторного добутку кут не перевищує 180^о, тому його синус не може бути від'ємним і знак мішаного добутку визначається знаком Якщо трійка  – права, то вектор с лежить по той самий бік від площини векторів а та b, що й вектор а тому для векторів правої трійки кут – гострий, а його косинус – додатний. У випадку лівої трійки вектори c та лежать по різні боки від площини векторів а та b, тому для векторів лівої трійки кут – тупий, а його косинус – від'ємний.%

4.16. Властивість. Мішаний добуток векторів правої трійки дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, зведених до спільного початку.

&Випливає із формули (4.2), властивості 4.7 і рис. 9. Властивість 4.15 забезпечує виконання нерівності %

Рис. 9

4.17. Зауваження. Іноді буває зручно користуватися поняттям орієнтованого паралелепіпеда, як такого паралелепіпеда, що побудований на орієнтованій трійці векторів. При цьому, паралелепіпед побудований на правій трійці векторів називають додатним, з огляду на знак мішаного добутку цих векторів. Паралелепіпед, побудований на лівій трійці векторів, називають від'ємним і умовно приписують йому від'ємний об'єм. Завдяки цьому, властивості 4.15 та 4.16 вдається сформулювати разом: мішаний добуток трьох некомпланарних векторів дорівнює об'єму орієнтованого паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках.

4.18. Наслідок. Добуток дорівнює об'єму цього ж паралелепіпеда з тією різницею, що тепер величину V виражено через площу грані, побудованої на векторах b і c, і перпендикулярну до неї висоту. Таким чином,

(4.3)

4.19. Властивість. Для мішаного добутку справедливі такі рівності:

(4.4)

&Очевидно з антикомутативності векторного добутку або із зауваження 4.2 і властивості 4.16. %

4.20. Властивість. Мішаний добуток дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори-співмножники компланарні.

&Коли один із векторів нульовий, його можна вважати ортогональним до двох інших, що й доводить твердження теореми. Проведемо доведення для трьох ненульових векторів a, b і c.

Необхідність: нехай Доведемо, що a, b і c компланарні. Припустимо обернене, тоді,

Достатність: нехай вектори a, b і c – компланарні, тоді, а отже, %

4.21. Властивість. Мішаний добуток є асоціативним відносно скаляра , тобто

& Випливає з асоціативності скалярного та векторного добутків відносно скаляра.%

4.22. Властивість. Мішаний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких векторів a, b, c і d справедливі рівності

& Отже, перша із наведених вище рівностей безпосередньо випливає з доведеної раніше дистрибутивності скалярного добутку. Звідси ж випливають і дві інші рівності, якщо записати

та %

4.23. Наслідок. Дистрибутивність векторного добутку. Доведемо, що .

& Критерієм рівності векторів є рівність їх координат, а отже, подана векторна рівність рівносильна трьом скалярним рівностям

Доведемо першу з них

Дві інші рівності доводяться аналогічно. Рівність

не потребує окремого доведення з огляду на антикомутативність векторного добутку. %