§ 8. Загальна теорія лінійних систем

Теорема 1.55 про базисний мінор дозволяє сформулювати таку умову сумісності довільно заданої СЛАР:

1.80. Теорема Кронекера – Капеллі. СЛАР має хоча б один розв’язок у тому й тільки в тому разі, коли ранг матриці системи А дорівнює рангу розширеної матриці А*.

& Запишемо задачу СЛАР таким чином

.

Необхідність. Якщо розв’язок існує, то така форма запису означає, що стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією стовпчиків матриці системи. Отже, додавання цього стовпчика не змінить загальної кількості лінійно незалежних стовпчиків, тому .

Достатність. Нехай . У цьому випадку базисний мінор матриці А є базисним і в матриці А*. Це означає, що стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією тих стовпчиків матриці А, у яких розташований базисний мінор, тоді згідно з доведеним раніше припущенням, стовпчик є лінійною комбінацією будь-якої системи стовпчиків, які утримують , у яких розташований базисний мінор, як підсистему. Отже, у цьому випадку стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією всіх стовпчиків матриці А. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації являють собою розв’язок системи СЛАР. %

1.81. Наслідок. СЛАР несумісна тоді й тільки тоді, коли до спрощеного вигляду матриці А* входить рядок .

& Якщо , то будь-який базисний мінор розширеної матриці А* має утримувати останній стовпчик. Якщо останній стовпчик є базисним, то до спрощеного вигляду матриці А* має входити рядок . Навпаки, якщо такий рядок є в матриці, то її останній стовпчик не може бути лінійною комбінацією інших. Отже, і система несумісна.%

§ 9. Критерій Фредгольма

Транспонуємо матрицю А заданої СЛАР і розглянемо однорідну систему з n рівнянь відносно m невідомих :

Така система називається спряженою однорідною системою для заданої СЛАР.

1.82. Теорема Фредгольма. Для того, щоб СЛАР була сумісною, необхідно й достатньо, щоб кожний розв’язок спряженої однорідної системи задовольняв рівняння

, де – вільні члени заданої СЛАР.

Достатність. Якщо умову виконано для всіх розв’язків спряженої системи, то система рівнянь

розв’язків мати не може. Тому для неї ранг розширеної матриці більший за ранг матриці ситеми. Транспонуючи обидві матриці і враховуючи, що ранг матриці не змінюється при транспонуванні, отримуємо

.

Із теореми 1.55 про ранг матриці випливає, що рядок не є лінійною комбінацією рядків розширеної матриці заданої СЛАР:

,

і тому рядок такого вигляду не може входити до спрощеного вигляду такої матриці. Отже, на основі наслідку теореми Кронекера –Капеллі робимо висновок, що задана СЛАР сумісна.

Необхідність умови буде встановлена, якщо зробити припущення, що умова теореми не виконана, і на основі цього прийти до висновку, що задана СЛАР несумісна.

Нехай існує розв’язок спряженої системи, для якого . Помножимо кожне рівняння заданої СЛАР на числа відповідно, і додамо їх. Отримаємо рівняння , яке не має розв’язків.

1.83. Приклад. Застосуємо теорему Фредгольма для отримання умови паралельності прямих на площині. Система

не має розв’язків, якщо існують такі числа і , що , , але . Видно, що та відмінні від нуля, тому можна покласти i записати отриману умову таким чином, що існує число таке, що , і .