§ 3. Методи обчислення детермінантів матриць

1.43. Означення. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:

1. Множення рядка на число, відмінне від нуля.

2. Додавання до одного рядка іншого рядка цієї самої матриці.

3. Перестановка рядків матриці.

4–6. Ті самі перетворення стовпчиків матриці.

Із властивостей визначників випливає, що детермінант матриці не зміниться, якщо до якого-небудь рядка (стовпчика) додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпчиків) цієї матриці, що дає можливість знаходити визначник таким чином:

· Метод приведення до трикутного вигляду. Суть методу полягає в приведенні за допомогою елементартих перетворень визначника до такого вигляду, коли всі елементи, що розміщені по один бік однієї з діагоналей, дорівнюють нулю. Якщо в першому стовпчику є ненульові елементи , то беремо будь-який з них – нехай це буде , і до всіх рядків, окрім k-го, додамо k-й рядок, помножений на , де – перший елемент рядка, до якого додають k-й рядок. У такий спосіб матрицю буде приведено до вигляду, коли всі елементи крім одного в першому стовпчику дорівнюють нулю. Отже, , де – доповняльний мінор елемента у перетвореній матриці. Для обчислення застосуємо той самий спосіб і через крок визначник буде знайдено.

1.44. Приклад. Знайдемо

.

Перший крок. Віднімемо перший рядок від усіх інших:

.

Другий крок. Із першого стовпчика виносимо з другого , з третього – і т. д.

.

Третій крок. До першого стовпчика додаємо всі інші стовпчики

.

Четвертий крок. Розкриваємо визначник за першим стовпчиком і отримуємо кінцевий результат:

.

· Метод рекурентних співвідношень. Метод полягає в тому, що даний визначник обчислюють, перетворюючи і розкладаючи його за рядком або стовпчиком, через визначники того самого вигляду, але більш низького порядку. Отримане співвідношення називається рекурентним.

Розглянемо випадок, коли рекурентне співвідношення має вигляд , , і q – незалежні від n величини. Якщо , то , де – визначник 1-го порядку даного вигляду. Нехай , α і β – корні квадратного рівняння , тоді , отже:

.

Аналогічно

.

Таким чином,

Розглянемо два випадки.

Випадок 1. : тоді маємо

, ,

тому

,

звідки

.

Випадок 2. . У цьому випадку маємо:

і т. д. аналогічно .

1.45. Приклад.

.

Розкладемо за елементами 1-го стовпчика:

.

Наступний крок – розкладемо визначник за 1-м рядком і отримуємо: , отже, на основі отриманих раніше співвідношень обчислення даного визначника зводиться до пошуку коренів рівняння .

Часто при обчисленні визначників зручно комбінувати обидва вищевказані методи. Як приклад, розглянемо обчислення визначника Вондермонда.

1.46. Приклад.

.

Віднімемо від останнього рядка передостанній рядок, помножений на й отримаємо:

.

Після чого віднімемо від передостаннього рядка третій знизу, домножений на , і т. д. Останній крок – від другого рядка віднімаємо перший, домножаючи на . У результаті матимемо:

=

= розкриваємо за 1-им стовпчиком =

= =

Розкриваючи визначник аналогічно, знаходимо:

,

отже,

· Метод представлення визначника у вигляді суми визначників.Деякі визначники легко обчислюються шляхом розкладу їх в суму визначників того самого порядку відносно рядків (або стовпчиків).