Методические указания к решению задач 32-36

Решение этих задач требует знаний символического метода расчета цепей переменного тока, соотношений между линейными и фазными токами и напряжениями при соединении трехфазного потребителя звездой или треугольником, методики расчета токов в фазах приемника, в линейных проводах и нулевом проводе, активной, реактивной и полной мощностей фаз приемника и всей цепи, построения векторных диаграмм в осях комплексных чисел согласно выбранному масштабу.

Пример 19

В трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением U_л = 660 В включены звездой три электроприёмника, комплексы сопротивлений которых заданы: Z =(40 + j30) Ом; Z_B = 76 Ом; Z_C = -j60 Ом. начертить схему цепи. Определить линейные токи, ток нулевого провода, активную, реактивную и полную мощности фаз и всей цепи. Построить в осях комплексных чисел векторную диаграмму цепи.

A İ_A

B İ_B

C İ_C

0 İ₀ Z_C

Z_A Z_B

Рисунок 87

Алгоритм решения

1.Исходя из условия (по комплексам сопротивлений фаз) в фазу А включена активно-индуктивная нагрузка, в фазу В – активная, а в фазу С – емкостная нагрузка. Вычерчиваем схему цепи (рисунок 87).

2.При соединении звездой с нулевым проводом каждый электроприемник находится под фазным напряжением сети. Определяем действующее значение фазного напряжения и выразим напряжения отдельных фаз в символической форме.

U_Ф = = = 380 В

_{= UФ = 380 B}

_{В = UФ ∙e-j120 = 380∙Cos(-1200) + j380∙Sin(-120) =}

_{= 380∙(Cos 600) + j380∙(-Sin 600) = 380∙0,5 – j380∙0,866 =}

_{= 190 – j329 B}

_{C = UФ∙ej120 = 380∙Cos120 + j380∙Sin1200 = -190 + j329 B}

3.Представим комплексы сопротивлений фаз приемника в показательной форме:

Z_A = 40 + j30 = = 50∙e ^j37 Ом

Z_B = 76 Ом; Z_C = -j60 = 60∙e ^–j90 Ом

4.Определяем комплексы токов в фазах электроприемника

İ_A = = = 7,6 ∙e ^–j37 = 7,6∙Cos(-37⁰) + j7,6∙Sin(-37⁰)=

= 7,6∙0,8 – j7,6∙0,5 = (6-j4,6) A

İ_B = = = 5∙e ^–120 = 5∙Cos(-120⁰) + j5∙Sin(-120⁰)=

= 5∙Cos(-60⁰) + j5(-Sin 60⁰) = -5∙0,5 – j5∙0,866 = (-2,5 – j4,3) A

İ_C = = = 6,3 ∙e ^j210 = 6,3∙Cos210⁰ ∙ j6,3∙Sin210⁰ =

= 6,3∙Cos(-30⁰) + j6,3(-Sin 30⁰) = -6,3∙0,866 – j6,3∙0,5 = (-5,45 – j3,15) A

ПРИМЕЧАНИЕ: При соединении электроприемников звездой токи в линейных проводах равны токам в соответствующих фазах.

5.Определим комплекс тока в нулевом проводе

İ = İ_A + İ_B + İ_C = (6-j4,6) + (-2,5 – j4,3) + (-5,45 – j3,15) =

= (-1,95 – 12,05) A =

= = 12,35∙ A

6.Сопряженные комплексы токов в фазах

_{А = 7,6∙ А; B = 5∙ A; C = 6,3∙ A.}

7.Комплекс мощности фазы А

= _{А∙ А = 380∙7,6∙ = 2888∙ = 2888∙(Cos370∙jSin370) =}

= 2888∙0,8 + j2888∙0,6 – (2306 + j1733) BA, откуда

S_A = 2888 BA; P_A = 2306 Вт; Q_A = 1733 вар

8.Комплекс мощности фазы В

_{B = В∙ B = 380∙5∙ = 1900∙ = 1900 BA, откуда}

S_В = P_B = 1900 BA; Q_B = 0, так как в фазе В включена только

активная нагрузка

9.Комплекс мощности фазы С

_{С = С∙ С = 380∙ ∙6,3∙ = -j2394 BA}

P_C = 0, так как в фазе С включена только ёмкость

Q_C = -2394 вар

ПРИМЕЧАНИЕ: Знак (-) свидетельствует, что реактивная мощность в фазе С носит емкостный характер, что соответствует нагрузке в фазе С (конденсатор).

10.Активная мощность всей цепи

P = P_A + P_B + P_C = 2306 + 1900 + 0 = 4200 Вт = 4,206 кВт

11.Реактивная мощность всей цепи

Q = Q_A + Q_B + Q_C = 1733 + 0 – 2394 = -661 вар = -0,661 квар

12.Полная (кажущаяся) мощность трехфазной цепи

S = = = 4,26 кВА

13. Для построения векторной диаграммы (рисунок 88) задаемся масштабами

- по напряжению М_U = 95

- по току М_I = 2

+j

120⁰ _{A +1}

_c =210⁰ İ _A = -37⁰

_{B B = -990 İA}

İ_{N N} = -99⁰

Рисунок 88

Комплекс напряжения фазы А , т.е U_A направляем по действительной оси комплексной плоскости. Под углом 120⁰ относительно U_A проводим комплексы напряжений в фазе В и С, т.е. U_В и U_С.

Комплексы токов в фазах и нулевом проводе строим в масштабе согласно результатов расчета, учитывая их модули и аргументы.

ПРИМЕЧАНИЕ: Положительные значения аргументов комплексов откладываем против движения часовой стрелки от положительного направления действительной оси комплексной плоскости.

14. При обрыве линейного провода А трехфазная цепь примет вид (рисунок 89) .Ток в линейном проводе А и в фазе А равен 0. Расчет значительно упрощается и ведется только по 2-м фазам и В и С.

Ток в нулевом проводе определяется:

İ₀ = İ _В + İ_С

B I_B

Z_B

0 I₀

C I_C Z_C

Рисунок 89

Пример 20 .

В сеть трехфазного тока включена треугольником нагрузка с сопротивлением фаз Z_AB = 80 + j60 Ом; Z_BC = -j30 Ом; Z_CA = 14 + j48 Ом. Линейное напряжение цепи 6 кВ. Вычислить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности цепи для :

а) нормального режима;

б) обрыва фазы АВ

в) обрыва линейного провода.

Построить векторные диаграммы напряжений и токов для всех трех случаев.

Алгоритм решения

Нормальный режим.

1.Согласно условия (по комплексам сопротивлений фаз делаем вывод) в фазу АВ включена активно-индуктивная нагрузка, в фазу ВС – емкостная, в фазу СА – активно-индуктивная нагрузка. Вычерчиваем схему цепи (рисунок 90).

2. Выразим векторы линейных напряжений в комплексном виде, при этом вектор напряжения _АВ направим по действительной оси в положительном направлении, тогда _АВ = 6000В.

A I_A

В I_CA

С I_C Z_BC I_BC I_AB

I_B

Рисунок 90

_{АВ = Л ∙ е-j120 = 6000∙Cos(-120) + j600∙Sin(-120) =}

= 6000∙(-0,5) + j6000(-0,866) = -3000 – j5196 В

_{СА = Л ∙ е j120 = 6000∙Cos120 + j600∙Sin120 =}

= 6000∙(-Cos 60⁰) + 6000(+Sin 60⁰) = -3000 + j5196 В

3.Представим комплексы сопротивлений фаз в показательной форме комплексного числа.

Z_AB = 80 + j60 = = 100∙e ^j37 Ом;

Z_BC = -j30 = 30∙e ^-j90 Ом;

Z_CA = 14 + j48 = = 50∙e ^j74 Ом;

4.Комплекс тока в фазе АВ

İ_AB = = = 60∙e^-j37 = 60∙Cos(-37⁰) + j60Sin(-37⁰) = 48 – j36 A

5.Комплекс тока в фазе ВС

İ_BC = = = 200∙e^-j30 = 200∙Cos(-30⁰) + j200∙Sin(-30⁰) =

= 200∙0,866 – j200∙0,5 = 173,2 – j100 A

6.Комплекс тока в фазе СА

İ_СА = = = 120∙e^j46 = 120∙Cos 46⁰ + j120∙Sin 46⁰ =

= 83 + j86,7 A

7.Ток в линейном проводе А

İ_А = İ_АВ – İ_СА = (48 - j36) – (83 + j86,7) = -35 – j122,7 = = = 128∙e^-j106 A

8.Ток в линейном проводе В

İ_В = İ_ВС – İ_ВС = (173,2 – j100) – (48 – j36) = 125,2 – j64 = = = 141∙e^-j27 A

9.Ток в линейном проводе С

İ_С = İ_СА – İ_BC = (83 + j86,7) – (173,2 – j100) = -90,2 + j186,7 = = = 207∙e ^j116 A

10.Сопряженные комплексы токов в фазах

_{АВ = 60∙е j37 A; BC = 200∙е j30 A; CA = 120 ∙е –j46 A.}

11.Комплекс мощности в фазе АВ

_{АВ = АВ∙ АВ = 6000∙60∙ = 36∙104∙Cos 370 + j36∙104 ∙ Sin 370 =}

= 36∙10⁴∙0,8 + j36∙10⁴ ∙0,6 = 28,8∙10⁴ + j21,6∙10⁴ BA

откуда P_AB = 28,8 ∙10⁴ = 288 кВт;

Q_AB = 21,6 ∙10⁴ = 216 квар

S_AB = 36 ∙10⁴ = 360 кВA

12. Комплекс мощности в фазе ВС

_{BC = ВC∙ BC = 6000∙ ∙ 200∙ = 12∙105 ∙e –j90 = -j12∙105 BA}

откуда P_BC = 0, так как в фазе ВС включен конденсатор

Q_BC = -12∙10⁵ BA вар = -1200 квар.

13. Комплекс мощности в фазе СА

_{CA = CA∙ CA = 6000∙60∙ ∙120∙e-j46 =72∙104∙e j74 =}

= 72∙10⁴∙(Cos 74⁰ + jSin74⁰) = (19,8∙10⁴ + j69,2∙10⁴) BA

откуда P_CA = 19,8 ∙10⁴ = 198 кВт;

Q_CA = 69,2 ∙10⁴ = 692 квар

S_CA = 72 ∙10⁴ = 720 кВA

14.Активная мощность всей цепи

P = P_AB + P_BC + P_CA = 288 + 0 + 198 = 486 кВт

15.Реактивная мощность всей цепи

Q = Q_AB + Q_BC + P_CA = 216 – 1200 + 692 = - 292 квар

16.Полная (кажущаяся) мощность всей цепи

S = = = 567 кВА

17. Для построения векторной диаграммы в осях комплексных чисел выбираем масштабы:

- по напряжению М_U = 1200

по току М_I = 30

При построении в масштабе откладываем модули комплексов токов и напряжений, а с помощью транспортира откладываем аргументы комплексов от положительного направления действительной оси, причем отрицательные углы откладываем против движения часовой стрелки (рисунок 91)

+j

İ_C

_CA

_{АВ +1}

İ_АВ İ_В

İ_A İ_ВС

_BC

Рисунок 91

18. При обрыве фазы АВ получим схему, изображенную на рисунке 92. Так как при обрыве фазы АВ сопротивление ее равно бесконечности, то ток в ней равен нулю. Токи в фазах ВС и СА останутся такими же, как будто обрыва фазы АВ не было, последствие того, что линейные напряжения не изменяются, т .е

A I_A

В I_B R_CA X_CA

I_CA X_BC

С I_C I_BC

Рисунок 92

İ_BC = 200∙e^-j30 A; İ_CA = 120∙e ^j46 A; İ_AB = 0

19.Комплекс линейного тока провода А.

İ_А = İ_АВ – İ_СА = 0 – (48 – j36) = -48 + j36 = = 60∙e ^j143 A

20. Комплекс тока в линейном проводе В.

İ_B = İ_BC – İ_АВ = İ_BC = 200∙e ^-j30 A

21. Комплекс тока в линейном проводе С.

İ_C = İ_CA – İ_BC = (83 + j86,7) – (173,2 – j100) = 207∙e ^–j116A

22. Мощности, развиваемые в фазах ВС и СА, останутся неизменными.

P_BC = 0; Q_BC = S_BC = -1200 вар;

P_CA = 190 кВт; Q_CA = 692 квар; S_CA = 720 кВА;

23. Активная мощность всей цепи.

P = P_BC + P_CA = 198 кВт

24. Реактивная мощность всей цепи.

Q = Q_BC + Q_CA = -1200 + 692 = 508 квар

25. Полная (кажущаяся) мощность всей цепи.

S = = = 545 кВА

26. Векторную диаграмму (рисунок 93) для режима работы цепи при обрыве фазы АВ строим в тех же масштабах:

- по напряжению М_U = 1200

- по току М_I = 30

+j

_CA

İ_A İ_CA

_{АВ +1}

İ_C İ_ВС = İ_B

_BC

Рисунок 93

Обрыв линейного провода

₂₇. При обрыве линейного провода А получим схему, показанную на рисунке 94. Это однофазная цепь переменного тока, к зажимам которой прикладывается напряжение 6000 В. К фазе ВС прикладывается напряжение _BC = 600∙ e ^–j120, а к последовательно соединенным фазам АВ и СА- _{CB = 600∙ e j60}

A

İ_АВ

В İ_B R_CA X_CA R_AB

İ_CA İ_BC X_{B C} X_AB

С İ_C

Рисунок 94

28. Комплекс тока в фазе ВС

İ_AB = = = 200∙e^-j30 или İ_ВС = (173,2 – j100) A

29. Комплекс тока в фазах АВ и СА.

İ_АВ = İ_СА = = = 42∙e ^j11=

= 42∙ Cos 11⁰ + j42∙ Sin 11⁰ = (41,1 + j8,02) A

30. Комплекс тока в линейном проводе В.

İ_B = İ_BC – İ_AB = (173,2 – j100) – (41,1 + j8,02)132,1 – j108 =

= = 170∙e^-j39 A

31. Комплекс тока в линейном проводе С.

İ_{C =} -İ_B = 170∙e ^j141A

32. Комплекс мощности фазы ВС

_{BC = BC∙ BC = 6000∙ ∙200∙e j30 = 120∙104∙e –j90 = -j120∙104 BA}

откуда P_BC = 0; Q_BC = -120∙10⁴ вар = -1200 квар

33. Комплекс мощности, потребляемой последовательно соединенными фазами АВ и СА.

_{АВ,СА = СВ∙ АВ = 6000∙ ∙ 42∙ e j11= 25,2∙104∙e j71 =}

= 25,2∙10⁴ (Cos 71⁰ + jSin 71⁰ ) = (8,2 ∙10⁴ + j23,8∙10⁴) BA

откуда: P_AB,CA = 8,2∙10⁴ Вт = 82 кВт

Q_AB,CA = 23,8∙10⁴ вар = 238 квар

S_AB,CA = 25,2∙10⁴ ВА =252 кВА

34. Активная мощность всей цепи

P = P_BC P_AB,CA = 0 + 82 = 82 кВт

35. Реактивная мощность всей цепи

Q = Q_BC + Q_AB,CA = -1200 + 252 = -948 квар

36. Полная (кажущаяся) мощность всей цепи

S = = = 951 кВА

37. Векторную диаграмму (рисунок 95) для режима работы цепи при обрыве линейного провода А строим в тех же масштабах, что и в предыдущем режиме, т.е. М

+j

_BC

İ_С

İ_AB = İ_{CA +1}

İ_BC İ_B

_BC

Рисунок 95