Пример 11

На стальное кольцо, магнитная проницаемость которого µ = 3000, равномерно намотаны две обмотки с числом витков W₁ = 500 и W₂ = 700. Сечение кольца S = 3,5см², средний диаметр d = 20см, Найти взаимную индуктивность М катушек, а также энергию магнитного поля внутри кольца при токах I₁ = 8 А и I₂ = 14 А, когда токи имеют одинаковые направления и когда они направлены в противоположные стороны.

Алгоритм решения.

• Магнитный поток первой катушки

Ф_I = B_I ∙ S = µ ∙µ₀ ∙H₁ ∙S = µ ∙µ₀ ∙S

• Так как этот магнитный поток пронизывает вторую катушку, то потокосцепление взаимной индукции

Ψ_2,1 = W₁ ∙Ф₁ = W₂ ∙W₁ ∙µ ∙µ₀ = W₂ ∙ W₁ ∙µ ∙µ₀

• Взаимная индуктивность катушек

M = = W₁ ∙W₂ ∙µ ∙µ₀ =

= 500 ∙700 ∙4 ∙3,14 ∙10^-7 ∙3000 ∙ = 0,735 Гн

4.Индуктивность первой катушки

L₁ = = 0,525 Гн

5.Индуктивность второй катушки

L₂ = = = 1,029 Гн

6.Энергия магнитного поля при одинаковом направлении токов

W_М1 = + + М ∙I₁ ∙I₂ = + + 0,735 ∙ 8 ∙ 14= =200 Дж

7.Энергия магнитного поля, когда токи направлены в противоположные стороны:

W_М2 = + = - М ∙I₁ ∙I₂ = + - 0,735∙8∙14 ≈ ≈35,3 Дж

Пример 12

Катушка, имеющая W = 500 витков, расположена на среднем стержне сердечника, изготовленного из электротехнической стали 1211 (рисунок 46)

Определить, какой ток нужно пропустить в катушке, чтобы в воздушном зазоре магнитной цепи магнитный поток был равен 4 ∙ 10^-3 Вб

Дано:

а = 50 мм; n = 80 мм;

b = 100 мм; h = 300 мм;

m = 400 мм; δ = 1мм;

m

1 2 a 3

h Ф₁ I Ф₃ W Ф₂

δ

6 5 a 4

а b a

Рисунок 46

Алгоритм решения

1.Определяем магнитную индукцию в зазоре и левом стержне магнитной цепи:

B₀ = B_I = = 1 Тл,

где S₁ = a ∙n – сечение левого стержня

S₁ = a ∙n = 50∙10^-3 ∙80∙10^-3 = 4∙10^-3 м²

2.Вычисляем напряженность магнитного поля в воздушном зазоре

H₀ = = = 796160 ,

где µ = 1 магнитная проницаемость воздуха.

3.Характеристики намагничивания ферромагнитных материалов не линейны, поэтому зависимость В = ƒ (Н) для каждого ферромагнитного материала дается в электротехнических справочниках в виде кривых намагничивания или в виде таблиц.

Таблица 28

Характеристики некоторых магнитных материалов

В, Тл	Н ()			В, Тл	Н ()			В, Тл		Н ()
	Марка стали				Марка стали					Марка стали
	1211 1212 1311	1511 1512	1211 1212 1311		1511 1512	1211 1212 1311				1511 1512
0,1 0,2 0,3 0,4 0,45 0,50 0,55 0,6 0,65 0,7	- - - 140 152 171 191 211 236 261	40 50 60 70 75 85 94 110 127 145	0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1,0 1,05 1,1 1,15 1,2		287 318 352 397 447 502 570 647 739 840	165 185 210 235 270 300 340 395 460 540	1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7		976 1140 1340 1580 1950 2500 3280 4370 5880 7780		640 770 970 1300 1830 2750 3850 5150 6950 8900

4.Согласно таблицы 28 для В = 1 Тл и стали 1211 напряженность магнитного поля

Н = 502 ( )

5.Разобьем магнитную цепь на участки и определим длину каждого из них.

Рассчитываемая цепь имеет четыре участка:

1-й участок 2165 (за исключением воздушного зазора);

2-й участок 2345;

3-й участок 25;

4-й участок – воздушный зазор.

𝓁₁ = m – a + h – a – δ =400 – 50 + 300 – 50 – 1 = 599 мм = 0,599 м;

𝓁₂ = m – a + h – a =400 – 50 + 300 – 50 = 600 = 0,6 м;

𝓁₃ = h – a = 300 – 50 = 250 мм = 0,25 м;

𝓁₄ = δ = 1 мм = 0,001 м;

6.Применив закон полного тока для контура 1234561, получим уравнение:

∑H ∙𝓁 = ∑I ∙ W;

H₂ ∙ 𝓁₂ – H₀ ∙𝓁₄ = 0, откуда

H₂ = = = 1097

7.Определим магнитную индукцию и магнитный поток на втором участке. По таблице для Н₂ = 1097 А/м и стали 1211

B₂ = 1,28 Тл

Ф₂ = B₂ ∙S₂ = 1,28 ∙ 4 ∙ 10^-3 = 5,12 ∙10^-3 Вб,

где S₂ = a ∙ n = 50∙10^-3 ∙ 80 ∙10^-3 = 4 ∙10^-3 м²

8.Применив первый закон Кирхгофа для узла 5 магнитной цепи, вычислим магнитный поток третьего участка

Ф₃ = Ф₁ + Ф₂ = 0,004 + 0,00512 =0,00912 Вб

9.Вычислим магнитную индукцию и определим напряженность магнитного поля третьего участка

B₃ = = = 1,14 Тл, где

S₃ = b ∙ n = 100 ∙ 10^-3 ∙ 80 ∙ 10^-3 = 8 ∙ 10^-3 м²

По таблице для В₃ = 1,14 Тл и стали 1211

Н₃  = 720

10. Применяем закон полного тока для контура 23452

Н₃ ∙𝓁₃ + Н₂ ∙𝓁₂ = I ∙W, откуда

I = = = 1,68 A