Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Частицы фермионы (электроны, протоны, нейтроны и др.), описываемые антисимметричными волновыми функциями, подчиняются принципу запрета Паули. Функция распределения для этих частиц называется функцией распределения Ферми-Дирака:

; (3.23)

. (3.24)

Частицы бозоны (фотоны, фононы, мезоны), описываемые симметричными волновыми функциями, не подчиняются принципу Паули. Термодинамическая вероятность системы, состоящей из бозонов, определяется статистикой Бозе-Эйнштейна. Функция распределения для этих частиц называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна:

; (3.25)

. (3.26)

Можно записать обобщенную формулу закона распределения частиц:

f = {exp[(E_i-_i)/kT] + b}^-1, (3.27)

где _i - химический потенциал газа, отнесенный к одной частице; E_i - энергия частицы. При b = 1 f = f_ФД; при b = 0 f = f_MБ; при b = -1 f = f_БЭ.

В случае, когда среднее число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние, мало, распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в распределение Максвелла-Больцмана.

Расчеты показывают, что для оценки большинства физических явлений, связанных с процессами, протекающими в рабочих телах (технологических объектах производства), можно пользоваться классической статистикой Максвелла-Больцмана.

Технологические процессы являются достаточно сложными системами. Приведенные уравнения статистической физики не могут дать их точного описания. Однако они позволяют понять и приближенно оценить механизм процессов.

3.2. Флуктуации параметров термодинамической системы

Из распределения Максвелла - Больцмана вытекает одно следствие, важное для анализа исследуемых систем. Оно заключается в том, что при заданных значениях параметров состояния в системе всегда имеются частицы, энергии которых отличаются от средних (наивероятнейших) значений. Отклонения параметров частиц или других элементов системы от среднестатистического значения называют флуктуациями параметров.

Существование флуктуаций термодинамических величин является следствием их статистической природы. Возникновение флуктуаций означает переход системы из более вероятного состояния в менее вероятное. Такой процесс в изолированной системе связан с уменьшением энтропии и, следовательно, противоречит второму закону термодинамики в его макроскопической трактовке. Таким образом, флуктуации определяют границы применимости второго закона термодинамики.

Теория флуктуаций позволяет понять многие физические (физико-технологические) явления. Флуктуации в системе происходят непрерывно и имеют определенные физические последствия. Число частиц с параметрами, отличными от их среднестатистических значений, уменьшается с увеличением их отклонений. Флуктуации приобретают особую важность при интерпретации микроскопических свойств системы.

В любой системе возникают флуктуации как кинетической и потенциальной энергий, так и распределения частиц в пространстве. Флуктуации кинетической энергии условно относят к динамическим, а флуктуации потенциальной энергии и концентрации частиц - к статическим искажениям.

Флуктуации параметров системы во времени различны, несмотря на их постоянное среднее значение. Отклонение параметра в определенный момент времени будет скомпенсировано противоположными отклонениями его в другие моменты, хотя эти отклонения и неравнозначны. Например, изменение давления во времени для равновесной системы (рис.3.3)

p=0. (3.28)

Количественной мерой флуктуаций параметров системы служит среднеквадратичная флуктуация , равная среднему значению суммы квадратов разностей (Ф_i - ):

(3.29)

где Ф_i- истинное значение параметра; - среднее значение параметра; n - число рассматриваемых значений параметра. Квадратичная флуктуация всегда однозначна и положительна. Величину называют абсолютной, а - относительной флуктуациями.

Рис.3.3. Изменение давления во времени для равновесной системы: Р_ср – среднее значение давления; Р – случайное отклонение давления от среднего значения

Поскольку в термодинамической системе потенциальная и кинетическая энергии непрерывно взаимодействуют и превращаются одна в другую, с их флуктуациями происходит то же самое. Динамические искажения приводят то к появлению, то к исчезновению статических искажений. Аналогично статические искажения приводят к изменению характера движения частиц, что обусловливает как появление, так и исчезновение динамических искажений.

Флуктуации параметров играют существенную роль во многих технологических процессах и физических явлениях. Например, распределение дефектов структуры пленок по объему физически закономерно, если рассматривать это явление как «замораживание» флуктуаций, даже если отвлечься от многих других причин возникновения дефектов.

Для малых систем (с малым числом атомов), к которым можно отнести тонкие пленки различных материалов, относительные флуктуации могут быть большими. Поэтому определение или задание средних значений параметров в таких системах хотя и необходимо, но недостаточно для надежной реализации заданных свойств. Следует отметить, что недостаточная надежность может быть связана с проявлением флуктуаций того или иного параметра (характеристики) в данной микросистеме (элементе интегральной микросхемы или электронно-вычислительных средств).