Основні правила утворення і запису чисел у позиційних системах числення

В основі нашої десяткової нумерації лежить принцип запису позиційного значення цифр; значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того яке місце вона займає в зображенні числа.

Саме позиційний принцип дає змогу за допомогою невеликої кількості цифр зображати будь-яке, як завгодно велике натуральне число. Цифр у нас існує 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А чисел існує нескінченна кількість.

Виходячи з позиційного принципу десяткової нумерації, кожне натуральне число можна подати у вигляді суми добутків «цифр» числа на відповідні степені числа 10.

Н.: 45 327 = 40 000 + 5 000 + 300 + 20 + 7 =

Загальна формула запису:

10 , 10 , 10 ,…, 10 , 10 – розрядні одиниці

Порівняння системних чисел

Два системних числа рівні тоді і тільки тоді, коли усі цифри їх відповідних розрядів однакові (Н.: 1825 = 1825).

Із двох системних чисел, записаних різною кількістю цифр, більшим є те в якому більше цифр, тобто яке має одиниці більш високого розряду (Н.: 537 > 99).

Із двох системних чисел з однаковою кількістю цифр, більшим є те, у якому цифра найбільшого розряду має більше одиниць, а якщо цифри найвищого розряду однакові, то більшим є число, в якому цифра, що стоїть за ним, має більше одиниць (Н.: 837 > 836, 9320 > 8540, 7325 < 7410).

Перехід від запису в системі з основою p до запису в десятковій системі

Нехай число х записане у системі числення з основою p: . Його можна записати у вигляді многочлена , де числа і p є десятковими записами. Виконуючи дії над цими числами за правилами десяткової системи числення, отримуємо десятковий запис числа х.

346 = 3 · 8 + 4 · 8 + 6 = 226

346 = 226

Перехід від запису числа в десятковій системі до запису з основою p

Ділимо з остачею число х на р за правилами ділення в десятковій системі. Остача, яка отримається при діленні, є остання цифра в запису числа х в системі з основою р.

Отриману частку знову ділимо з остачею на р. Нова остача є передостання цифра в записі числа х в системі з основою р. Продовжуючи процес ділення, знайдемо уci цифри в записі числа х у системі з основою р.

89	3
6	29	3
29	27	9	3
27	2 9		3	3
2		0	3	1
			0

89 = 10022

Дії над числами в позиційних системах числення, відмінних від десяткової

Порівняння чисел, записаних у системі числення з основою р, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи зі старших розрядів.

Дії над числами в не десяткових системах числення виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі числення. Перш за все для додавання і множення одноцифрових чисел складаються відповідні таблиці. Вони використовуються як при відніманні і діленні одноцифрових чисел, так і при діях з багатоцифровими числами.

Таблиця додавання з р = 5

+	1 2 3 4
1 2 3 4	2 3 4 10 3 4 10 11 4 10 11 12 10 11 12 13

Таблиця множення з р = 5

×	1 2 3 4
1 2 3 4	1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31

Виконаємо додавання і віднімання чисел, записаних у п’ятірковій системі числення:

₊ 3421₍₅₎ _ 3421₍₅₎

342₍₅₎ 342₍₅₎

4313₍₅₎ 3024₍₅₎

Виконаємо множення і ділення чисел п’ятіркової системи числення:

_×4203₍₅₎ _ 221432₍₅₎ 28₍₅₎

24₍₅₎ 211 4203₍₅₎

32322₍₅₎ _104

13411₍₅₎ 103

221432₍₅₎ _132

132

0

Здійснити перехід від запису числа у десятковій системі числення до запису у не десятковій системі можна за допомогою послідовного ділення. Розглянемо це на конкретному прикладі:

869 = х₍₄₎ 869 4

868 217 4 Отже, 869 = 31211₍₄₎

1 216 54 4

I р. 1 52 13 4

II p. 2 12 3

III p. 1 V р.

IV p.

Розглянемо обернену задачу до попередньої: 31211₍₄₎ = х₍₁₀₎

31211₍₄₎ = 3∙4⁴ + 1∙4³ + 2∙4² + 1∙4 + 1 = 3∙256 + 1∙64 + 2∙16 + 1∙4 + 1 = 768 + 64 + + 32 + 4 + 1 = 869.