1.1.7.2 Складений критерій

Складений критерій при перевірці нормальності розподілу результатів спостережень використовують, якщо кількість cпостережень 15 < n < 50 .

При перевірці нормальності розподілу за допомогою складеного критерію спочатку знаходять відношення d

, (24)

де S^*- зміщена оцінка середнього квадратичного відхилення, яка розраховується за формулою

. (25)

Вважають, що гіпотеза про нормальність розподілу не суперечить експериментальним даним, якщо

, (26)

де d_1-α1/2 та d _{α 1/2} - квантілі розподілу, які знаходять з таблиці 3, причому α₁ - заданий рівень значимості.

Якщо гіпотеза про нормальність розподілу по d-критерію не відкинута, то додатково перевіряють різниці . Вважають, що результати спостережень належать нормальному розподілу, якщо не більше m різниць перевищують значення t(P) S_x . Тут t(P) - квантіль нормального розподілу. Він дорівнює m-1 при 10<n<20 та 2 при 21<n<49.

Значення імовірності Р, в залежності від вибраного рівня значимості α та кількості спостережень п, знаходять з таблиці 3.

Якщо рівень значимості відрізняється від табличного, тоді значення Р знаходять шляхом інтерполяції.

Оскільки для d-критерію вибраний рівень значимості α₁, a для перевірки різниць - α₂, то рівень значимості складеного критерію

α <= α ₁ + α ₂ . (27)

Таблиця 3 - Значення Р для знаходження t(p).

п	α2
	l%	2%	5%
10	0.98	0.98	0.96
11-14	0.99	0.98	0.97
15-20	0.99	0.99	0.98
21-22	0.98	О.97	0.96
23	0.95	0.98	0.96
24-27	0.98	0.98	0.97
28-32	099	0.98	0.97
33-35	0.99	0.98	0.98
36-49	0.99	0.99	0.98

1.1.7.3 Обробка результатів кількох серій вимірювань

Раніше ми розглянули порядок обробки результатів прямих спостережень, коли результати отримані в однакових умовах за відносно короткий проміжок часу. Однак, доволі часто вимірювання однієї і тієї ж величини проводиться в кілька етапів, тобто є кілька серій спостережень, і для підвищення точності необхідно врахувати результати спостережень всіх серій.

Нехай для простоти проведено дві серії спостережень. Кожна серія характеризується своїми середніми значеннями та статистичними оцінками дисперсій S_1y² , S_2y². Якщо серії однорідні, тобто розходження між їх середніми та дисперсіями носять випадковий характер, обумовлений скінченою кількістю спостережень в кожній серії, то такі серії дозволяється об'єднувати в одну для подальшої обробки.

Розглянемо спочатку випадок, коли результати спостережень в кожній серії розподілені нормально. Для перевірки однорідності спочатку необхідно перевіряти, чи значимо розходження між серійними дисперсіями. Таку перевірку можна провести за критерієм F Фішера - Снедекора. Якщо дисперсії відрізняються незначно, то серії називаються рівнорозсіяними, в іншому разі - нерівнорозсіяними.

Якщо серії рівнорозсіяні, то необхідно перевірити, чи значимо розходження між середніми. Наприклад, за критерієм Z у випадку, коли кількість спостережень в кожній серії не менше 30, чи Ст‘юдента, коли кількість спостережень хоча б в одній серії менше 30. Якщо виявиться, що і середні відрізняються незначимо, то серії вважають однорідними.

В тому випадку, коли закон розподілу результатів спостережень відмінний від нормального, або ж він невідомий, для перевірки однорідності серій можна скористатися критерієм Вілкоксона.

Таблиця 4 - Критичні точки w_н.кр (, п₁, п₂ ) критерію Вілкоксона.

Кількість спостере­жень						Кількість спостере­жень		
п1	п2	0,01	0,02	0,05	0,1	п1	п2	0,01	0,02	0,05	0,1
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	18 19 1 20 20 21 22 23 24	23	24	26	29		7	32	34	36	39
7		24	25	27	30		8	34_	35	38	41
8		25	27	29	31		9	35 37	37	40	43
9		26	28	31	33		10	37	39	42	45
10		27	29	32	35		11	38	40	44	47
11		28	30	34	37		12	40	42	46	49
12		30	32	35	39		13	42	44	48	52_
13		31	33	37	41		14	43	45	50	54
14		32	34	38	42		15	44 І	47	52	56
15		33	36	40	44		16	46	49	54	58
16		34	37	42	46		17	47	50	56	61
17		35	39	44	47		18	49	52	58	63
18		37	40	45	49		19	50	54	60	65 ~6Tf
19		38	41	46	51		20 ..	52	56	62	67
20		39	43	48	53		21	53	58	64	69
21		40	44	50	55		22	55	59	66	72
22		42	45	51	57		23 ^4 247	57	61	68	74
23		43	47	53	58		24	58 _	63 І	70	76
24		44	48	54	60		25	59	64	72	78
25		45	50	56	62		26	60	65	74	80
8		43	45	49	51		9	61	62	66	72
9		45	47	51	54		10	61	63	68	73
10		47	49	53	56		11	62	64	70	74
11		49	51	55	61		12	63	66	71	75
12		51	53	57	63		13	65	68	73	76
13		53	55	59	65		14	71	70	75	77
14		55	57	61	67		15	73	76	84	78
15		57	59	63	69		16	75	82	87	79

Нехай кількість спостережень в першій серії п₁, в другій - n₂, причому n₁< n₂; якщо це не так, то вибірки перенумеровують (міняють місцями). Для того, щоб при заданому рівні значимості α перевірити гіпотезу про однорідність серій спостережень, якщо кількість спостережень в кожній серії не перевищує 25, необхідно:

1) розмістити результати спостережень обох серій в варіаційний, тобто в неспадаючий ряд;

2) знайти для цього варіаційного ряду суму порядкових номерів результатів спостережень першої серії - W;

3) знайти по таблиці 2.4 нижню критичну точку w_нкр (, п₁, п₂ ) критерію Вілкоксона;

4) знайти верхню критичну точку за формулою

. (28)

Якщо w_н.кр (, n₁, n₂ ) <W< w_в.кр (, n₁, n₂ ), то вважають, що серії однорідні.

Необхідно зауважити, що при побудові варіаційного ряду може виявитись, що деякі результати спостережень співпадають. Якщо співпадають результати спостережень лише в одній серії, то в варіаційному ряді їх нумерують так, наче вони різні числа; якщо ж співпадають результати спостережень різних серій, то їм присвоюють один і той же порядковий номер, який дорівнює передньому арифметичному порядкових номерів, котрі мали б ці результати, якби вони були різні.

Якщо серії будуть визнані однорідними, то їх можна об'єднати і розглядати як єдину сукупність спостережень.