5. Однофакторний аналіз

Розглянемо вплив лише одного фактора х.

В таблиці 1 записані результати експерименту (u m) спостережень

де j - порядковий номер рівня варіювання фактора;

l - порядковий номер дублюючого досвіду в серії на кожному j-му рівні, (для спрощення розрахунків, не порушуючи загальність висновків, розглянемо спочатку випадок рівнокількісних спостережень при всіх рівнях, тобто m₁= m₂=…= m_j=…= m_u=m).

При такому розташуванні спостережень розсіювання між стовпцями буде визначатися помилкою відтворення, а розсіювання між рядками - додатковою дією досліджуваного фактора.

Таблиця 1 - Результати експерименту

№ l дублюючого досліду номер j рівня фактора х	1 2 … l … m
1	y11 y12 … y1l … y1m
2	y21 y22 … y2l … y2m
…	...	…
j	yj1 yj2 … yjl … yjm
…	…	…
u	yu1 yu1 … yul … yum

Розрахуємо середнє арифметичне серій із m повторних спостережень для кожного j-го рівня фактора

(5)

і загальне середнє арифметичне у всіх u·m спостережень по всіх u рівням

(6)

Розсіювання окремих спостережень відносно загального середнього обумовлено дією випадкових причин і впливом факторах. Дія фактора випадковості проявляється (з дисперсією ² ) в розсіюванні спостережень серій дублюючих дослідів на кожному рівні х навколо середнього арифметичного своєї серії.

Вплив фактора х (з дисперсією _х²) викликає підвищене розсіювання середніх серій відносно загального середнього. Кожне з цих трьох розсіювань можна охарактеризувати відповідною сумою квадратів відхилень.

2.1.6 Розкладання сум квадратів

У відповідності з основною ідеєю дисперсійного аналізу розкладемо суму квадратів відхилень спостережень від загального середнього на дві складові суми, одна з яких буде характеризувати вплив фактора випадковості, а друга - фактора мінливості х.

(7)

,

оскільки

, (8)

так як

,

як сума відхилень спостережень j-ї серії від середнього тієї ж серії, де

(9)

- «загальна» сума квадратів відхилень окремих спостережень від загального середнього . Ця сума характеризує розсіювання спостережень в результаті дії обох факторів як випадковості (з дисперсією ²), так і досліджуваного x (з дисперсією ²).

(10)

- сума квадратів відхилень «в середині серій», тобто сума квадратів розходжень між окремими спостереженнями і середнього відповідної серії. Ця сума характеризує залишкове розсіювання випадкових погрішностей досвіду, тобто їхнє відтворення (з дисперсією ²).

(11)

• сума квадратів відхилень «між серіями» або розсіювання по рівнях, тобто сума квадратів розходжень між середнім окремих серій і загальним середнім по всій сукупності спостережень (сума квадратів, зважена з урахуванням кількості спостережень у кожній серії). Сума характеризує розсіювання середніх серій за рахунок випадкових причин (з дисперсією для середніх серій) і досліджуваного фактора (з дисперсією ).