2.1.2 Постановка задачі в загальному вигляді

Дано:

а) вихідний параметр y може залежати (з фізичних міркувань) від n незалежних факторів x₁, x_2, ..., x_i, ..., x_n, що не мають кількісного опису, і їхніх парних взаємодій (використовуємо єдине позначення для змінних керованих x, некерованих z, неконтрольованих w);

б) кожен фактор x може варіюватися на u₁ рівнях;

в) повний факторний експеримент складається з N = u₁ u₂ ... u_i ... u_n серій незалежних спостережень по числу всіх можливих сполучень (які не повторюються) рівнів n факторів;

г) будь-яка j-а серія містить m_j спостережень y_j1, y_j2, ..., y_jl, ..., y_jmj дослідів, які дублюються.

Потрібно: визначити, якою мірою істотно на фоні випадкових погрішностей вплив того або іншого фактора x_i або комбінації (взаємодії) таких факторів на вихідний параметр y, провести порівняння з іншими факторами і виділити найбільш важливі.

3. Припущення, на яких базується дисперсійний аналіз

Припущення 1. Величина у - нормально розподілена випадкова

величина з центром розподілу

і з дисперсією .

Це вимоги стаціонарності зміни випадкової величини у. Таким чином, фактори визначають величину у лише в середньому, залишаючи простір для випадкових помилок спостережень, які підпорядковуються нормальному за­кону.

Припущення 2. Дисперсія одиничного спостереження , обумовлена випадковими помилками, постійна в усіх дослідженнях і не залежить від , тобто дисперсії будуть дорівнювати одна одній при j = 1,2…,N, а їх вибіркові оцінки будуть однорідні - це умова відтворення дослідів.

Кожне із цих припущень необхідно перевіряти по результатам досліджувального експерименту.

З даних задачі та зазначених припущень зрозуміло, що чим більший вплив деякого фактора х на вихідний параметр у , тим більше розходження між со­бою середніх арифметичних серій паралельних спостережень, зроблених при різних сполученнях рівнів варіювання досліджуваних факторів. Статистична значимість такого розходження вказує на суттєвий вплив факторів.

При двох серіях спостережень порівняння середніх і перевірка нуль-гіпотези здійснюються за допомогою t-критерію методом Ст‘юдента. В сформульованій задачі вимагається одночасно довільно порівняти велику кількість середніх і на основі цього зробити висновок про значимість впливу того чи іншого фактора.

2.1.4 Ідея дисперсійного аналізу

Щоб мати можливість оцінити вплив кожного фактора на вихідний параметр і порівняти вплив різних факторів, визначимо деякий показник цього впливу.

Нехай за відсутності помилок досліду при варіюванні фактора х на різних рівнях отримані фактичні значення вихідного параметру у. Тоді в якості показника впливу фактора х приймаємо величину, яку називають, по аналогії з звичайною, дисперсією фактора х, тобто

(1)

де

.

При цьому треба мати на увазі, що числа у_і не є випадковими і тому дисперсія не пов‘язана ні з якою випадковою величиною, так як ми припускаємо, що .

Вивчати вплив факторів по величинам їх дисперсій зручно, оскільки це простіша міра розсіювання, і до того ж аналогічна мірі впливу фактора випадкових причин, тобто аналогічна дисперсії одиничного спостереження (відтворення) . Завдяки цьому є можливість порівнювати вплив будь-якого досліджуваного і випадкового факторів. Таке дослідження факторів по їх дисперсіях називається дисперсійним аналізом. Цей аналіз був введений в 20-х роках нашого сторіччя Р.А. Фішером і розвинений Йєйтсом.

Розглянемо ідею дисперсійного аналізу на прикладі вивчення впливу одного фактора на фоні випадкових похибок, коли дисперсія відтворення відома. При варіюванні фактора х на u рівнях в результаті спостережень отримаємо значення , розсіювання яких можна характеризувати вибірковою дисперсією:

(2)

з числом мір свободи .

Якщо різниця між s² і σ² не значна, то з цього випливає, що розкид спостережень, який зумовлений цією різницею, зв‘язаний лише з випадковими причинами. Тому вплив фактора х незначний, якщо різниця між s² і σ² значна, то підвищений розкид спостережень викликаний не лише випадковими причинами. Цей розкид спостережень також викликаний впливом фактора х, який тепер необхідно визначити суттєвим.

Оскільки в останньому випадку додаються впливи двох незалежних факторів - випадкових причин (з дисперсією ²) і фактора х (з дисперсією _х²), що призводить до загального розсіювання спостережень, то загальна дисперсія буду сумою двох указаних , а її оцінка буде

. (3)

Тому дисперсія фактора визначається виразом

(4)

В загальному випадку, коли дисперсія відтворення ² невідома, схема дисперсійного аналізу повинна дозволити знайти її оцінку поряд з оцінками дисперсій досліджуваних факторів. З цією метою планується проведення серій дублюючих дослідів при кожному з усіх можливих сполучень рівнів досліджуваних факторів.

Таким чином, основна ідея дисперсійного аналізу полягає в розкладенні загальної дисперсії s² на складові, які залежать від випадкових причин, від кожного з розглянутих факторів і по їх взаємодії окремо, а також в оцінці статистичної значимості дисперсій останніх з урахуванням похибки відтворення досліду.

Розглянемо лише найпростіші способи застосування дисперсійного аналізу, техніка проведення якого доволі різноманітна.