2.4. Исследование нелинейных цепей с реактивными элементами

В общем случае при анализе цепей, содержащих реактивные, а также нелинейные резистивные элементы, составляется система интегро- дифференциальных уравнений, в которых нелинейные элементы представлены своими аппроксимирующими функциями. Решение такой системы – задача непростая.

Для несложных цепей, но используемых на практике, анализ можно упростить как за счет выбора простой аппроксимирующей функции нелинейного элемента, так и за счет раздельного описания процессов в цепи на отдельных временных интервалах периода задающего воздействия, соответствующих разным участкам ВАХ нелинейного элемента.

В качестве иллюстрации сказанному исследуем электрическую цепь рис. 2.7,а, представляющую собой однополупериодный выпрямитель, состоящий из трансформатора Тр, нелинейного элемента (выпрямительного диода V,) резистора (как эквивалента нагрузки) и конденсатора фильтра . На первичную обмотку трансформатора подается переменное напряжение

,

а с вторичной обмотки Тр снимается напряжение

,

где амплитудное значение может быть больше или меньше в зависимости от вида трансформатора – он может быть повышающим (вторичная обмотка содержит большее число витков, чем первичная) или понижающим.

Рис. 2.7. Однофазные выпрямители с активно-емкостной

нагрузкой: а – однополупериодный; в – двухполупериодный

Полагаем, что трансформатор не имеет потерь – это позволяет считать идеальным источником напряжения. Второе допущение: будем считать, что на отрезке ВАХ выпрямительного диода (см. рис. 2.1,б) до напряжения диод закрыт (ток через него не протекает), а при диод ведет себя подобно линейному резистору с небольшим сопротивлением (см. пунктир на рис. 2.1,б), т.е. ВАХ выпрямительного диода аппроксимирована кусочно-линейной функцией, состоящей из двух отрезков.

Процессы, происходящие в цепи, можно описать следующим образом. Диод V закрыт все время, за исключением случая, когда положительное напряжение превысит напряжение на конденсаторе (нагрузке ) на величину , т.е. когда

.

В это время конденсатор быстро заряжается от источника . В остальное время диод V закрыт, и конденсатор медленно разряжается через сопротивление нагрузки (рис. 2.7,б).

Быстрый заряд конденсатора предполагает выполнение условия

,

где – постоянная времени заряда конденсатора , –дифференциальное сопротивление диода, а – период задающего напряжения . При выполнении этого условия изменение напряжения на конденсаторе происходит по закону задающего напряжения .

Медленный разряд конденсатора реализуется при условии

,

где – постоянная времени разряда конденсатора . Выполнение этого условия, как будет показано в дальнейшем, позволяет получить пульсации выпрямленного напряжения на низком уровне.

Из соотношения между постоянными времени заряда и разряда следует требование к сопротивлению нагрузки:

.

Поскольку диод открывается только при напряжении, превышающим , максимально возможное напряжение на конденсаторе меньше амплитудного значения на величину , т.е.

.

Поэтому точнее будет считать, что в цепи действует напряжение

.

Чтобы определить время заряда и время разряда конденсатора , запишем уравнение баланса напряжений и в точке 1 ( ) графика на рис. 2.7,б:

,

где учтено, что разряд конденсатора происходит по закону экспоненты

.

Поскольку , то

,

и уравнение баланса примет вид

.

Учитывая, что , а , функции в этом трансцендентном уравнении можно представить их приближенными выражениями

и ,

а само уравнение записать в виде

или

.

Решением этого уравнения является значение , что позволяет вычислить время разряда и минимальное напряжение на конденсаторе (нагрузке ), т.е. напряжение в точке 1 графика рис. 2.7,б:

.

Среднее значение ( ) напряжения на интервале [0, T] определится в результате интегрирования напряжения отдельно на интервалах [0, ] и [ , T]:

.

Отклонение от характеризуют понятием “пульсаций” напряжения и оценивают коэффициентом пульсаций

.

После подстановки выражений и

формула коэффициента пульсаций примет вид

,

откуда и вытекает требование .

Пример расчета. Дано: Гц; кОм; мкФ. Решение: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % .

В двухтактном выпрямителе, мостовая схема которого приведена на рис. 2.7,в, конденсатор фильтра подзаряжается в два раза чаще по сравнению с тем, что имело место в схеме рис. 2.7,а. Это происходит или через открытые диоды под действием напряжения , или через открытые диоды под действием напряжения . Анализ схемы рис. 2.7,в аналогичен анализу схемы рис. 2.7,а, но с учетом изменения интервала анализа (см. рис. 2.7,г) – [0, ] вместо [0, T]:

– время разряда конденсатора –

;

– уравнение баланса напряжений в точке 1 (рис. 2.7,г) в процессе преобразования –

,

,

,

;

– минимальное напряжение на конденсаторе (нагрузке ) –

;

– среднее напряжение на нагрузке –

;

– приближенное выражение коэффициента пульсаций –

.

При тех же начальных данных, что приведены в примере расчета однополупериодного выпрямителя, для двухполупериодного выпрямителя результаты расчета выглядят следующим образом: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % . Примерно такие же значения и можно получить и в схеме рис. 2.7,а, но при сопротивлении нагрузки в два раза большем.

Как видно из выражения , выпрямители с активно-емкостной нагрузкой отличаются низкой нагрузочной способностью, поэтому они используются для питания маломощных устройств с низким потреблением тока. Значительно большей нагрузочной способностью обладают выпрямители с активно-индуктивной нагрузкой, у которых в качестве элемента сглаживающего фильтра используется катушка индуктивности (рис. 2.8,а при отсоединенном конденсаторе ).

Рис. 2.8. Однофазный мостовой выпрямитель с индуктивной нагрузкой

В схеме рис. 2.8,а пары диодов и открываются поочередно на время, равное половине периода T задающего напряжения . Поэтому форма напряжения , непосредственно действующего на цепь , имеет вид, показанный на рис. 2.8,в пунктиром. Строго говоря, по причине того, что выпрямительные диоды открываются при напряжении (см. рис. 2.1,б), вся диаграмма напряжения смещена вниз (относительно уровня ) на величину, примерно равную , что объясняется действием ЭДС самоиндукции катушки индуктивности. Это в определенной мере можно учесть, если считать, что на входе действует источник напряжения (см. эквивалентную схему на рис. 2.8,б) с амплитудным значением напряжения

и внутренним сопротивлением .

Чтобы проанализировать эквивалентную схему рис. 2.8,б, представим напряжение в виде ряда Фурье:

,

состоящем, кроме составляющей с нулевой частотой, только из четных гармоник задающего напряжения . Для каждой из составляющих методом комплексных амплитуд запишем уравнения баланса напряжений в цепи:

; ,

где, как следует из выражения ряда Фурье,

и

– постоянная составляющая и амплитуда второй гармоники напряжения , а – сопротивление катушки на частоте второй гармоники тока .

Здесь приведены только два уравнения баланса для цепи рис. 2.18,б – для постоянной составляющей тока и для второй гармоники . Уравнения баланса для других гармонических составляющих можно составить по аналогии с уравнением для , но в данном случае этого делать не имеет особого смысла, и не только из-за того, что амплитуды высших гармоник напряжения гораздо меньше амплитуды второй гармоники, но и по причине роста сопротивления катушки с увеличением номера гармоники.

Таким образом, на нагрузке будет действовать выпрямленное (среднее) напряжение

с отклонением в ту и другую стороны на максимальную величину

,

где приближенное выражение записано для случая , а .

Поскольку отклонение напряжения на нагрузке двустороннее относительно , коэффициент пульсаций определится из выражения

.

Как следует из этого выражения и выражения постоянной времени , при уменьшении сопротивления нагрузки коэффициент пульсаций выпрямителя с активно-индуктивной нагрузкой уменьшается, что является его преимуществом.

Пример расчета. Дано: Гц; Ом; Гн. Решение: сек; ; % .

Коэффициент пульсаций в схеме рис. 2.8,а можно уменьшить, если кроме катушки индуктивности включить (параллельно ) конденсатор , как показано на рис. 2.8,а и б пунктиром.

Подключение конденсатора приведет к следующим изменениям в выражениях, описывающих схему рис. 2.8,а (б):

– уравнение баланса для второй гармоники –

;

– комплексная амплитуда 2-й гармоники напряжения на нагрузке –

;

– максимальное отклонение напряжения на нагрузке от –

;

– коэффициент пульсаций –

.

Так, при введении в схему рис. 2.8,а (с данными, приведенными в примере расчета) конденсатора емкостью мкФ коэффициент пульсаций уменьшится до значения 0,84 % .