2.2. Эквивалентные преобразования цепей с резистивными элементами

При анализе цепей с нелинейными резистивными элементами участки цепи, состоящие из последовательно либо параллельно соединенных элементов, представляются в виде эквивалентного нелинейного элемента с общей вольт-амперной характеристикой.

У последовательно соединенных элементов общим является ток, поэтому общая ВАХ получается путем суммирования напряжений элементов при одинаковых значениях тока, т.е. суммирование производится по оси напряжений. На рис. 2.2,а приведен пример построения общей ВАХ при последовательном соединении линейного резистора c ВАХ-1 и стабилитрона с ВАХ-2. Вольт-амперная характеристика эквивалентного нелинейного элемента (ВАХ-3) – это сумма абсцисс ВАХ-1 и ВАХ-2 для каждой точки оси ординат (оси токов). Стабилитрон на пологом участке своей ВАХ (где ) имеет очень большое сопротивление, поэтому при последовательном соединении с резистором, имеющим гораздо меньшее сопротивление, ВАХ эквивалентного элемента повторяет на этом участке вольт-амперную характеристику стабилитрона. На рис. 2.2,б показаны построения ВАХ эквивалентного элемента (ВАХ-3), представляющего собой параллельное соединение линейного резистора (ВАХ-1) и МДП-транзистора (ВАХ-2). ВАХ-3 является результатом суммирования ординат графиков ВАХ-1 и ВАХ-2 для каждой точки оси абсцисс (оси напряжений). Сопротивление МДП-транзистора на крутом участке его ВАХ (где ) значительно меньше сопротивления резистора, и, поскольку они соединены параллельно, ВАХ-3 почти совпадает на этом участке с ВАХ-2.

Рис.2.2. Преобразование ветвей нелинейных электрических цепей:

а – при последовательном соединении элементов; б – при параллельном

Последовательное соединение источника постоянного напряжения E и нелинейного элемента либо параллельное соединение источника постоянного тока J и нелинейного элемента можно заменить эквивалентным нелинейным элементом с ВАХ, повторяющим ВАХ исходного нелинейного элемента, но смещенную по отношению к началу координат на величину E (по оси напряжений) либо J (по оси токов).

2.3. Анализ нелинейных резистивных цепей

При анализе цепи, содержащей только один нелинейный элемент, линейную часть цепи, состоящую из линейных резисторов и задающих источников, преобразуют к виду, представленному на рис. 2.3,а, где – это выходное (по отношению к ) сопротивление цепи, а – напряжение холостого хода линейной подсхемы (т.е. напряжение на выходных зажимах линейной части цепи при отсоединенном нелинейном элементе ). На поле графика ВАХ нелинейного элемента (на рис. 2.3,б в качестве примера приведена ВАХ тиристора) строится нагрузочная прямая по двум точкам с координатами: и . Точка пересечения этой прямой с ВАХ нелинейного элемента является рабочей точкой этого элемента. Рабочая точка характеризуется током и напряжением . Остальные токи и напряжения цепи определяются из анализа линейной подсхемы. В случае характеристик вида, показанных на рис. 2.1,г или д, решений может быть несколько. Если напряжение E задающего источника имеет сложную форму, то значения и вычисляются для каждого мгновенного значения напряжения E.

Рис. 2.3. Определение рабочей точки нелинейного элемента:

а – эквивалентная схема цепи; б – построение нагрузочной прямой

Рассмотрим более подробно процедуру анализа нелинейной резистивной цепи на примере схемы рис. 2.4,а. При отсоединенном нелинейном элементе найдем напряжения в узлах 1 и 2 схемы:

; ,

что позволит получить промежуточную эквивалентную схему рис. 2.4,б, где и – эквивалентные сопротивления в узлах 1 и 2 линейной подсхемы:

; .

Рис. 2.4. Преобразование резистивной цепи, содержащей нелинейный элемент

Окончательно эквивалентная схема примет вид, показанный на рис. 2.4,в, где , а . Напряжение и ток определятся в результате построения нагрузочной прямой на поле графика ВАХ нелинейного элемента .

При известном напряжения в узлах 1 и 2 ( и ), можно найти из анализа схемы рис. 2.4,а. С этой целью зададим направления токам и запишем уравнения баланса токов в этих узлах:

; ,

откуда получим выражения узловых напряжений:

; .

Если резистивная цепь содержит два нелинейных элемента, то такую цепь можно исследовать методом итераций (последовательных приближений). В соответствии с этим методом для каждого нелинейного элемента составляется эквивалентная схема цепи типа схемы рис. 2.3,а, но в отличие от нее является нелинейным эквивалентным элементом, в котором второй (в противоположность элементу на рис. 2.3,а) нелинейный элемент входит своим сопротивлением, определенным в рабочей точке его ВАХ.

На нулевом шаге итераций задается (в общем случае – произвольно) рабочая точка второго нелинейного элемента и вычисляется его сопротивление . Это сопротивление, наряду с другими линейными сопротивлениями, образуют линейную подсхему эквивалентной схемы рис. 2.3,а. В результате анализа этой схемы становятся известными рабочая точка и сопротивление первого нелинейного элемента. Это сопротивление используется на следующем шаге итераций при уточнении сопротивления второго нелинейного элемента, заданного на предыдущем шаге. Определение сопротивления второго нелинейного элемента выполняется путем анализа такой же схемы рис. 2.3,а, но составленной относительно второго элемента (первый элемент своим сопротивлением входит в линейную подсхему). Когда последующие значения сопротивлений одного и другого нелинейных элементов будут отличаться от соответствующих предыдущих значений на допустимую величину, процесс итераций прекращается. Необходимо отметить, что в некоторых случаях процесс итераций может быть расходящимся, и решения этим методом при выбранных начальных условиях (начальном значении сопротивления нелинейного элемента) не существует.

Чтобы автоматизировать анализ нелинейных цепей, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов представляют в аналитическом виде. Аналитическую функциональную зависимость между током и напряжением нелинейного элемента получают в результате решения задачи аппроксимации его ВАХ. Обычно в качестве аппроксимирующей функции применяется либо кусочно-линейная функция, либо полином n-й степени

,

где y – напряжение, а x – ток или наоборот.

Чем выше степень n полинома, тем точнее может быть аппроксимация, но сложнее анализ. Коэффициенты полинома определяют либо методом выбранных точек, либо методом наименьших квадратов. Метод выбранных точек проще, но метод наименьших квадратов позволяет получить более точное решение.

Часто точное решение не требуется, тем более с учетом разброса параметров отдельных экземпляров одного и того же типа элемента. Поэтому, учитывая особенности ВАХ некоторых типов нелинейных элементов, анализ цепей с такими элементами можно значительно упростить. Покажем это на примере цепи рис. 2.5,а.

Рис. 2.5. Преобразование нелинейной цепи (а – г) и построение ее ВАХ (д)

В цепи рис. 2.5,а источник опорного напряжения включен так, что при напряжении задающего источника , меньшем по модулю напряжения смещения ( ) все диоды закрыты, и через них протекает незначительный ток (см. рис. 2.1,б), которым можно пренебречь по сравнению с токами диодов в открытом состоянии. Это, а также то, что под действием пары диодов и открываются поочередно, позволяет представить схему рис. 2.5,а в виде эквивалентной схемы рис. 2.5,б, в которой ветви и , состоящие соответственно из последовательно соединенных элементов и , оказываются включенными параллельно.

Вольт-амперные характеристики эквивалентных нелинейных элементов и (рис. 2.5,д) определяются путем суммирования (по оси напряжений) ВАХ пары диодов со смещением на величину . ВАХ эквивалентного нелинейного элемента (рис. 2.5,в) получается путем суммирования (по оси токов) ВАХ элементов и и, в силу особенностей этих ВАХ, практически повторит их на всем их протяжении. Если просуммировать ВАХ последовательно соединенных нелинейного элемента и линейного резистора (рис. 2.5,д), то получится ВАХ обобщенного нелинейного элемента схемы рис. 2.5,г.

Рис. 2.6. К анализу цепи рис. 2.5,а

На рис. 2.6 показаны построения, позволяющие при заданном воздействии (рис. 2.6,б) получить решение в виде временной зависимости (рис. 2.6,в). Поскольку напряжение на линейном элементе связано с протекающим через него током линейным соотношением

,

форма повторяет форму с точностью до масштабного коэффициента .