1.5. Анализ переходных процессов в электрической цепи

Переходный процесс происходит при внезапных (скачкообразных) изменениях структуры цепи или параметров ее элементов, в том числе, что наиболее важно, при отключении или включении (либо изменении параметров) задающих источников тока (напряжения).

Переходные процессы возможны только в цепях, где есть емкости (конденсаторы) и/или индуктивности (катушки индуктивности), т.е. элементы, способные запасать и отдавать энергию.

Запас энергии в конденсаторе определяется напряжением на нем, и это напряжение не может измениться мгновенно, в отличие от протекающего через конденсатор тока.

В катушке индуктивности запас энергии определяется током, протекающим через катушку, и этот ток не может измениться мгновенно, тогда как напряжение на катушке измениться может.

В классическом методе анализа реакцию цепи на внезапное изменение ее состояния (структуры либо параметров) представляют в виде суммы свободной и вынужденной составляющих, т.е.

,

где , и – токи либо напряжения.

Вынужденная составляющая , являясь реакцией цепи на внешнее воздействие, возникшее после коммутации (изменения состояния цепи), может быть определена одним из рассмотренных выше методов анализа цепи в установившемся режиме.

При отыскании свободной составляющей поступают следующим образом:

– одним из методов анализа цепи в установившемся режиме определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации ( );

– для схемы, получившейся в результате коммутации, с учетом соотношений (1.1) – (1.3) составляется система интегро-дифференциальных уравнений;

– в результате решения этой системы уравнений относительно заданной неизвестной (напряжения или тока ветви) получают дифференциальное уравнение цепи;

– составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и записывают общий вид свободной составляющей реакции цепи;

– постоянные интегрирования определяют из анализа цепи для момента времени , непосредственно следующим за моментом коммутации, когда токи индуктивностей и напряжения емкостей еще не изменились, оставаясь равными соответственно и .

Классический метод анализа переходных процессов применяется для простейших цепей и при простых внешних воздействиях в виде скачка постоянного напряжения (тока) или включения в цепь источника гармонического сигнала. В общем случае используется операторный метод анализа, основу которого составляет преобразование Лапласа.

Как и в случае метода комплексных амплитуд, операторный метод анализа относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями).

Прямое преобразование Лапласа

ставит в соответствие функции времени функцию комплексной переменной . Функция называется изображением функции , а сама функция по отношению к функции – оригиналом. Оператор преобразования можно рассматривать как обобщенную комплексную частоту ( – угловая частота; – постоянное число).

Обратное преобразование Лапласа

( ) ставит в соответствие функции комплексной переменной функцию , для которой функция есть прямое преобразование Лапласа. Не всякая функция имеет обратное преобразование Лапласа. В общем случае существуют ограничения и при преобразовании функции .

Прямое и обратное преобразования Лапласа обозначаются соответственно

и

или

Некоторые свойства преобразования Лапласа (они же теоремы) приведены в табл. 1.1.

Все выражения для сопротивлений элементов , установленные для обобщенных комплексных амплитуд, а также законы Ома и Кирхгофа и методы анализа цепей на их основе справедливы и для операторного метода, если под понимать не мнимую частоту, а оператор Лапласа. При этом начальные условия в виде токов индуктивностей и напряжений емкостей, существовавшие в момент коммутации, учитываются путем включения в схему дополнительных источников тока и источников напряжения . В подавляющем большинстве случаев взаимные преобразования оригиналов и изображений можно выполнить без вычисления интегралов, используя готовые решения, сведенные в таблицы (некоторые из преобразований приведены в табл. 1.2).

Таблица 1.1

№	Операция	Оригинал	Изображение
1	Умножение на постоянный коэффициент k
2	Суммирование
3	Дифференцирование оригинала
4	Интегрирование оригинала
5	Изменение масштаба ( – постоянный коэффициент)
6	Сдвиг аргумента у оригинала ( )
7	Сдвиг аргумента у изображения ( комплексное число)

Для отыскания оригиналов, изображения которых представлены в виде рациональных дробей вида

либо ,

можно воспользоваться соответственно первой либо второй теоремами разложения:

либо ,

где n – степень полинома , которая должна быть больше степени полинома (не меньше в случае второй теоремы); – производная по p полинома ; – простые корни полинома ; , – значения полиномов при .

Анализ переходных процессов операторным методом выполняется в следующей последовательности:

– в схеме цепи до коммутации одним из методов анализа установившегося процесса (например символическим) определяются токи индуктивностей и напряжения емкостей, которые наблюдались в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации ( );

– с учетом полученных начальных значений токов и напряжений составляется операторная схема цепи;

– по методу контурных токов или узловых напряжений составляется система уравнений в операторной форме;

– решается эта система уравнений относительно заданных неизвестных, представленных в операторной форме;

– используя табличные формулы перехода от изображения к оригиналу, получают решение в виде функций времени.

В качестве примера проведем анализ переходных процессов в цепи рис. 1.11,а при скачкообразном изменении постоянного напряжения задающего источника от В до В, т.е.

Задача анализа: получить зависимости токов ветвей цепи от времени при .

Рис. 1.11. Цепь с коммутируемым источником постоянного напряжения

Поскольку коммутируется источник постоянного напряжения, начальные значения тока индуктивности и напряжения емкости легко найти из анализа схемы рис. 1.11,а на постоянном токе (в установившемся режиме до коммутации):

; .

Составим операторную схему (рис. 1.11,б) цепи рис. 1.11,а, где

; .

В соответствии с 1-й строкой табл. 1.2, где приведено изображение постоянной величины,

; ; .

Таблица 1.2

(a, b, c, β, γ, – различные постоянные)

№
1
2
3
4
5
6		;
7
8		; ; ;
9		; ; ;
10		; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

В схеме рис. 1.11,б преобразуем источник тока в источник напряжения с параметром

.

В результате получим схему рис. 1.11,в, которую можно описать следующей системой уравнений, составленной по методу контурных токов:

Решим эту систему уравнений относительно токов и :

;

.

Представим эти функции в таком виде:

,

,

предварительно вычислив в соответствии с исходными данными (указаны на рис. 1.11,а) значения коэффициентов полиномов

; ; ;

; ; .

Определив корни полинома , запишем функции и в табличной форме (см. табл. 1.2):

; .

Если корни получаются комплексно-сопряженными (как в рассматриваемом случае), то, чтобы исключить последующие преобразования выражений и , полином представляют в таком виде:

,

в результате чего выражения и примут другие табличные формы:

; , (1.8)

в соответствии с которыми (строка 6 при и строка 8 табл. 1.2)

; (1.9)

, (1.10)

где ; ; ; ; .

Вычислив все постоянные величины:

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ,

временные зависимости токов и запишем в окончательном виде

[мА];

[мА]

(угол φ измеряется в радианах). При расчете углов φ и ψ по формулам, приведенным в табл. 1.2, необходимо учитывать знаки числителя y и знаменателя x аргумента функции , т.е. в какой четверти тригонометрического круга эта функция определена: если , то ( может быть как положительным, так и отрицательным).

Операторный ток ветви, содержащей сопротивление , как видно из рис. 1.11,в, равен разности токов и , описываемых выражениями (1.8), т.е.

.

Это выражение отличается от выражения для только коэффициентом , поэтому оригинал изображения

отличается от (1.10) исключительно значениями коэффициентов A, B и φ:

(в формулы для A, B и φ вместо b подставляется ).

В результате выражение функции времени тока будет иметь вид

[мА].

Рис. 1.12. Переходные процессы при коммутации источника постоянного напряжения

Графики функций , и приведены на рис. 1.12,а, б и в. Как видно из графиков, в цепи рис. 1.11,а (при указанных значениях параметров элементов) в результате коммутации источника постоянного напряжения происходит затухающий колебательный процесс с частотой Гц ( радиан/сек). При этом ток как при , так и при , тогда как мкА, а мкА, что, естественно, соответствует расчетным значениям (время – это момент коммутации, а не начало оси абсцисс на графиках рис. 1.12). Первый максимум на графике (рис. 1.12,б) соответствует моменту мсек, а на графике (рис. 1.12,в) – моменту мсек.

В качестве другого примера исследуем переходный процесс в той же цепи рис. 1.11,а, но при коммутации источника гармонического сигнала:

где В; ; Гц.

Поскольку начальные условия нулевые, операторная схема цепи рис. 1.13,а примет вид, показанный на рис. 1.13,б, где

(см. строку 3 табл. 1.2 при ).

Рис. 1.13. Цепь с коммутируемым источником гармонических колебаний

Запишем систему уравнений по методу контурных токов:

и решим ее относительно неизвестных и :

;

.

Запишем эти выражения в таком виде:

,

,

где

; ; ;

; .

Определив корни полинома , представим функции и в табличной форме:

; . (1.11)

В соответствии с 10-й строкой табл. 1.2, учитывая, что коэффициент с в формулах (1.11) равен нулю (а в формуле для равен нулю еще и коэффициент a), получим следующие выражения временных зависимостей токов:

(1.12)

где ; ;

; ;

; ;

; ;

;

.

После расчета значений всех постоянных величин –

; ; ; ; ;

;

; ; ; ;

; ; ;

– функции (1.12) примут окончательный вид:

Как видно из этих выражений и соответствующих графиков на рис. 1.14,б и в, при коммутации источника гармонического сигнала в цепи рис. 1.13,а ток емкости (и индуктивности) будет состоять из двух, наложенных друг на друга, составляющих, одна из которых представляет собой вынужденные гармонические колебания с частотой а другая – свободную составляющую в виде затухающих колебаний с частотой .

Рис. 1.14. Переходные процессы при коммутации источника гармонического сигнала

Если требуется получить временные зависимости напряжений на емкости и индуктивности, то в соответствии с формулами (1.2) и (1.3) необходимо выполнить соответственно операции интегрирования и дифференцирования токов и :

; ,

где – напряжение на емкости в момент коммутации.

Так, к примеру, в схеме рис. 1.11,а на основании выражений (1.9) и (1.10) получаются следующие функции:

; ,

где ; .

Функции и можно также найти, исследуя операторную схему цепи относительно операторных напряжений и с последующим преобразованием их выражений.