1.4. Анализ электрических цепей методом контурных токов

Метод анализа основан на применении второго закона Кирхгофа, в соответствии с которым алгебраическая сумма всех напряжений в любом замкнутом контуре электрической цепи равна нулю, т.е.

, (1.7)

где может иметь любую форму представления (временную – , символическую – или , операторную – ).

Система уравнений, описывающая цепь, состоит из k уравнений (1.7), составленных для k независимых замкнутых контуров. Число независимых контуров равно числу главных ветвей цепи. Главные ветви – это минимальное число ветвей, после удаления которых в схеме сохранятся все узлы, но разрушатся все замкнутые контуры. Если в схеме цепи преобразовать все источники тока в источники напряжения, то число независимых контуров определится из соотношения

,

где N – число ветвей, а n – число узлов преобразованной цепи.

В качестве примера проведем анализ цепи рис. 1.9,а, где все источники являются источниками постоянного тока и напряжения. Задача анализа: при заданных значениях параметров всех (активных и пассивных) элементов цепи определить контурные токи . Этого достаточно, чтобы рассчитать все токи и напряжения в цепи.

На первом этапе внесем источник тока в контур, образованный им и элементами , , , как это было показано на рис. 1.5 (рис. 1.9,б). Затем преобразуем источники тока и в источники напряжения и (рис. 1.9,в) и, заменив и на один источник , получим окончательно схему для анализа (рис. 1.9,г).

Рис. 1.9. Преобразование цепи при анализе методом контурных токов

Обозначив контурные токи ( и ) и задав им (произвольно) определенные направления, запишем систему уравнений

где напряжения, направления которых совпадают с направлением контурного тока, записаны со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус (направления падений напряжений на сопротивлениях под действием того или иного контурного тока на рис. 1.9,г показаны стрелками).

Записав эту систему в канонической форме

решим ее относительно неизвестных и :

;

.

Имея численные значения токов , напряжений и сопротивлений исходной цепи рис. 1.9,а и вычислив промежуточные величины , , , из приведенных формул для можно определить значения контурных токов, а из схемы рис. 1.9,а – значения токов ветвей.

На рис. 1.10,а изображена схема цепи с зависимым источником тока , управляемым током ветви ( ). Проведем анализ этой цепи, определив напряжение в узле 2 (на сопротивлении – ). Идеальный источник тока внесем в контур, образованный, наряду с , сопротивлениями и (рис. 1.10,б). Поскольку источник управляется током , чтобы не потерять информацию о токе , определим его через токи, сходящиеся к узлу 3:

, , .

Рис. 1.10. Электрическая цепь с источником тока, управляемым током

Преобразуем генераторы тока в генераторы напряжения и (рис. 1.10,в) с параметрами

; .

В соответствии с выбранными направлениями контурных токов и (рис. 1.10,в) составим систему уравнений

Подставив в уравнения этой системы выражения

и ,

приведем систему уравнений к виду

Решим эту систему уравнений относительно , представив результат в виде функции переменной :

.

Поскольку, как это видно из рис. 1.10,в, напряжение в узле 2

,

после подставки выражения функция напряжения примет вид

.

Разделив левую и правую части этого равенства на , получим выражение функции передачи напряжения от источника в узел 2 схемы рис. 1.10,а:

.

Численное выражение эта функция приобретет после подстановки в нее численных значений параметров элементов схемы рис. 1.10,а ( , , , , ).