1.3. Анализ электрических цепей методом узловых напряжений

Метод анализа основан на применении первого закона Кирхгофа, в соответствии с которым алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к любому i-му узлу электрической цепи, равна нулю, т.е.

, (1.5)

где может иметь любую форму представления (временную – , символическую – или , операторную – ).

При анализе цепи направления токов можно задать произвольно, но обычно положительными считаются токи, направленные от узла. Система уравнений, описывающая всю цепь, состоит из уравнений (1.5), где n – число неустранимых узлов (один из узлов принимается за общий).

Если в цепи действуют только постоянные источники тока и/или напряжения, то реактивные элементы и из схемы исключаются: ветвь, содержащая емкость, из схемы удаляется, а в ветви, содержащей индуктивность, элемент заменяется проводником ( ).

Рассмотрим последовательность анализа на примере цепи рис. 1.7,а, где все источники напряжения и тока постоянные. Пронумеруем все узлы, а узел под номером 0 примем за общий (с нулевым потенциалом). Задача анализа: при заданных значениях параметров всех (активных и пассивных) элементов цепи определить все узловые напряжения ( ), отсчитанные от общего узла 0. Если станут известны узловые напряжения , то токи ветвей определятся в соответствии с законом Ома (1.4).

Прежде чем записать систему уравнений по первому закону Кирхгофа, сначала упростим цепь рис. 1.7,а, выполнив преобразования в следующей последовательности.

Вынесем идеальный источник напряжения за узел 3, в результате чего один источник окажется включенным последовательно с источником тока , а другой – с сопротивлением (рис. 1.7,б). Источник напряжения , включенный последовательно с идеальным источником тока , отбрасывается, а другой источник преобразуется в источник тока с параметром (рис. 1.7,в). В источник тока с параметром преобразуется и источник напряжения . Параллельное соединение источников тока, а также сопротивлений заменяем одним источником тока и одним сопротивлением, как показано на рис. 1.7,г, где

.

Рис. 1.7. Преобразование цепи при анализе методом узловых напряжений

Задав токам в узлах 1 и 2 определенные направления, например, как показано на рис. 1.7,г, запишем для этой схемы систему уравнений методом узловых напряжений:

где и – узловые напряжения, а – разность напряжений, определяющая ток в ветви сопротивления .

Запишем эту систему уравнений в канонической форме:

(1.6)

где – проводимости.

Решим систему уравнений (1.6) относительно неизвестных и :

;

.

Узловое напряжение устраненного узла 3 ( ) определится из схемы рис. 1.7,а:

.

Имея численные значения токов , напряжений и сопротивлений исходной цепи рис. 1.7,а и вычислив промежуточные величины , , , , , из приведенных формул для можно определить значения узловых напряжений, а из схемы рис. 1.7,а – значения токов ветвей.

В цепи рис. 1.7,а все источники являются независимыми, параметры которых (ток источника тока, напряжение источника напряжения) не зависят от подсоединенным к ним элементам. У зависимых источников параметр зависит от величины либо токов ветвей, либо узловых напряжений. Пример такой цепи приведен на рис. 1.8,а, где источник тока управляется напряжением . Выполним анализ этой схемы, получив выражение напряжения (в схеме рис. 1.8,а все напряжения и токи являются функциями переменной ).

Рис. 1.8. Электрическая цепь с источником тока, управляемым напряжением

Преобразуем задающий источник напряжения в источник тока (рис. 1.8,б) и запишем для этой схемы систему уравнений относительно узловых напряжений и :

или

где ; ; ; .

Решив эту систему уравнений относительно , результат анализа схемы рис. 1.8,а можно представить в виде функции переменной :

.

После подстановки в выражение численных значений параметров элементов исходной схемы ( ) функция передачи от входного источника в узел 2 , равная отношению , приобретет численное выражение.