4.3. Анализ цепей, составленных из развязанных звеньев

На рис. 4.6 представлен пример схемы цепи, состоящей из многовходовых звеньев , описываемых функциями передачи напряжения с каждого j-го (инвертирующего, неинвертирующего) входа

(4.3)

и отличающихся низким выходным сопротивлением, значительно меньшим сопротивления любого их входов других звеньев, подсоединенных к его выходу.

Цепи, состоящие из развязанных звеньев, описываются матрицей, элементами главной диагонали которой являются знаменатели передаточных функций звеньев, а наддиагональными (поддиагональными) элементами – числители , взятые с обратным знаком. Для цепи рис. 4.6 матрица имеет вид

.

Функция передачи цепи определяется выражением

,

где – напряжение, приложенное к 0-му входу 1-го звена; – напряжение, снимаемое с выхода n-го звена (n = 4 в схеме рис. 4.6); – определитель матрицы; – алгебраическое дополнение элемента ; – числитель функции передачи 1-го звена с 0-го входа.

При анализе не очень сложных цепей, состоящих из развязанных звеньев, находит применение метод ориентированных графов.

Ориентированный граф представляет собой совокупность направленных ветвей, которые изображаются в виде стрелок, расположенных между парой вершин (узлов), пронумерованных в соответствии с номерами звеньев структурной схемы цепи. Граф схемы рис. 4.6 показан на рис. 4.7. Вершины графа соответствуют звеньям (выходам звеньев), а ветви – связям между звеньями. Каждая ветвь описывается передачей ветви от j -й вершины к i-й, что соответствует функции передачи i-го звена с j-го входа. Непрерывная последовательность ветвей, когда конечная вершина предыдущей ветви является начальной вершиной последующей, образует путь графа. Если по пути от источника (истока) к стоку (на выход) каждая вершина встречается не более одного раза, то такой путь называется сквозным. Контуром называется замкнутый путь, вдоль которого каждая вершина встречается только один раз. Если два пути или контура имеют хоть одну общую вершину, то они называются соприкасающимися.

Общее выражение передачи графа от некоторого источника (истока) к i-й вершине записывается в таком виде:

. (4.4)

Здесь D – определитель графа, который равен единице минус сумма передач всех контуров, плюс сумма произведений передач всех комбинаций по два несоприкасающихся контура, минус сумма произведений передач всех комбинаций по три несоприкасающихся контура и т.д.; – передача s-го сквозного пути; – алгебраическое дополнение s-го сквозного пути, оно равно определителю той части графа, которая не соприкасается (не имеет общих вершин) с этим сквозным путем.

У графа рис. 4.7 при определении передачи к 4-й вершине (стоку)

,

что, в соответствии с (4.4), дает следующее выражение передачи графа:

.

После подстановки в выражение выражений (4.3) получим функцию передачи цепи рис. 4.6.

Если электронная цепь представлена в виде принципиальной схемы, то сначала она разбивается на отдельные развязанные макроэлементы, а затем составляется граф схемы. Продемонстрируем это на примерах анализа звеньев квазилестничных фильтров.