4.2. Анализ цепей, составленных из неразвязанных звеньев

Электронные цепи состоят из отдельных звеньев, соединенных между собой линиями прямой и обратной связи. В свою очередь, звенья представляют собой или макроэлементы типа представленных на рис. 4.1 и 4.2, или более сложные устройства, построенные на базе этих макроэлементов. При этом звенья могут иметь либо низкое выходное сопротивление, гораздо меньшее входных сопротивлений звеньев, – это развязанные звенья, либо этим свойством не обладать – это неразвязанные звенья.

Примером цепи, состоящей из неразвязанных звеньев, является цепь рис. 4.3,а, где и – конверторы сопротивлений по схеме рис. 4.2,а, которые совместно с и образуют конверторные индуктивности и (рис. 4.3,б).

Анализ цепи заключается в отыскании функции передачи , входного и выходного сопротивлений либо в аналитическом виде (если цепь простая), либо в виде численных значений (графиков) в выбранных точках частотного диапазона анализа. Эта задача решается матричным методом, для чего достаточно составить матрицу иммитансов цепи (сопротивлений или проводимостей) и найти ее определитель и соответствующие алгебраические дополнения.

Рис. 4.3. Цепь с конверторными индуктивностями:

а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема

Матрица сопротивлений эквивалентной схемы рис. 4.3,б имеет вид

,

где – сопротивления емкостей; – сопротивления конверторных индуктивностей.

Чтобы составить матрицу сопротивлений, сначала необходимо выделить независимые контуры (1, 2 и 3 на рис. 4.3,б), а затем сформировать элементы матрицы: элементы главной диагонали (a_ii) в виде суммы сопротивлений соответствующих контуров и элементы наддиагоналей (a_ij) в виде отрицательной суммы сопротивлений общих ветвей двух контуров. Элементы поддиагоналей равны соответствующим элементам поддиагоналей (a_ji = a_ij), т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали. В индексах обозначений элементов a_ij (a_ji) первая буква (цифра) – это номер строки, а вторая – номер столбца.

Выражения функций цепей, описываемых матрицей сопротивлений, имеют вид

; ; ,

где – определитель матрицы сопротивлений; – определитель той же матрицы, но при ; и – алгебраические дополнения элементов a₁₁ и a_1n (предполагается, что источник сигнала расположен в 1-м контуре, а сопротивление нагрузки – в n-м контуре; в схеме рис. 4.3,б , а n = 3).

Рис. 4.4. Цепь с конверторными суперемкостями:

а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема

Если число узлов в схеме меньше числа независимых контуров, как, например, в схеме рис. 4.4,а (б), то такую цепь удобнее характеризовать матрицей проводимостей:

,

где , , ; , , ; .

Элементы главной диагонали матрицы представляют собой суммы проводимостей схемных элементов, примыкающих к i-му узлу схемы, а наддиагональные (поддиагональные) элементы – это отрицательные суммы проводимостей элементов схемы, расположенных между соответствующими узлами.

В схеме рис. 4.4,б заземленные элементы (суперемкости) образованы конверторами сопротивления (по схеме КС рис. 4.2,б) и резисторами , а незаземленные элементы – парой конверторов и и резисторами .

Выражения передаточной функции , входной и выходной проводимостей цепей, описываемых матрицей проводимостей, имеют вид

; ; ,

где – определитель матрицы проводимостей; – проводимость входной цепи, в схеме рис. 4.4,а (б) ; – определитель той же матрицы, но при ; и – алгебраические дополнения элементов a_1n и a_nn (1 – номер входного узла, а n – номер выходного узла, в схеме рис. 4.4,а (б) n = 3); – проводимость в узле n, т.е. с учетом проводимости , в схеме рис. 4.4,а (б) .

Если электронная цепь содержит многополюсные макроэлементы, то матрица иммитансов такой цепи в общем случае не симметрична относительно главной диагонали, но процедура ее анализа аналогична процедуре анализа цепи с двухполюсниками. Примером такой цепи служит конвертор сопротивления (рис. 4.2), макроэлементами которого являются операционные усилители (рис. 4.5), описываемые матрицей проводимостей

,

где – функция передачи ОУ; ;

Анализ схем рис. 4.2 проведем в предположении идеальности ОУ, считая не зависящим от частоты ( ), а и (в связи с чем для параметров разных ОУ не вводим обозначения принадлежности). С учетом матрицы проводимостей ОУ составим матрицу проводимостей конвертора ( ):

,

где – проводимости пассивных элементов КС.

Задача: путем эквивалентных преобразований получить матрицу, которая описывала бы КС только со стороны внешних узлов 1 и 5. Эта задача решается за счет последовательного исключения узлов 2, 4 и 3. На каждом из этих трех этапов преобразованные элементы матрицы определяются по формуле

,

где – элементы преобразуемой матрицы; ; – номер исключаемого узла.

Учитывая свойства ОУ ( , и ), результирующая матрица проводимостей КС примет вид

.

Чтобы получить выражения параметров конверторной индуктивности либо суперемкости (см. рис. 4.2), дополним эту матрицу матрицей элемента с проводимостью :

.

После исключения 5-го узла она примет вид

.

Выполнив подстановку значений пассивных элементов схем рис. 4.2,а и б, окончательно получим

; ,

откуда следуют выражения (4.1) и (4.2).