1. Анализ линейных электрических цепей
1.1. Элементы электрических цепей
Электрические
цепи состоят из активных и пассивных
элементов. К
активным элементам относятся источники
энергии и сигналов. Различают два вида
таких источников: источники напряжения,
отличающиеся очень малым (в пределе –
нулевым) внутренним сопротивлением, и
источники тока, отличающиеся, наоборот,
очень большим (в пределе – бесконечным)
внутренним сопротивлением. Условные
обозначения идеальных источников
приведены на рис. 1.1,а
и б.
Идеальный источник напряжения
характеризуется задающим напряжением
,
величина и форма которого не зависит
от тока, отдаваемого источником в цепь.
Неидеальность источника напряжения
(т.е. наличие в нем потерь) учитывается
внутренним сопротивлением
,
включенным последовательно с идеальным
источником
.
Идеальный источник тока характеризуется
задающим током
,
величина и форма которого не зависят
от значения напряжения на его выводах
(полюсах). Потери у реального источника
тока учитываются внутренним сопротивлением
,
включенным параллельно идеальному
источнику
.
Рис.1.1. Элементы электрических цепей: а – источник напряжения;
б – источник тока; в – сопротивление; г – емкость; д – индуктивность
К
линейным пассивным элементам, т.е.
элементам, рассеивающих или накапливающих
энергию, относятся резистор
,
обладающий активным (не реактивным)
сопротивлением
,
конденсатор
,
характеризующийся емкостью
,
и катушка индуктивности
,
характеризующаяся индуктивностью
.
Конденсатор
и катушка индуктивности
обладают реактивным сопротивлением,
соответственно
и
.
В схемах электрических цепей перечисленные
здесь элементы обозначаются как
сопротивление
,
емкость
и индуктивность
(рис. 1.1, в,
г
и д).
Потери у неидеального конденсатора и
неидеальной катушки индуктивности
учитываются добавлением параллельно
с
и последовательно с
активных сопротивлений
.
У идеальных пассивных элементов токи связаны с падениями напряжений на них следующими соотношениями:
;
(1.1)
;
(1.2)
.
(1.3)
Как видно из выражений (1.2) и (1.3), в цепи, где источниками являются источники постоянного напряжения (или тока), ток через емкость и напряжение на индуктивности равны нулю. Если же к емкости приложено синусоидальное напряжение
,
то ток, согласно (1.2), будет равен
,
т.е. он будет
опережать напряжение
на фазовый угол, равный
,
а выражение его амплитудного значения
примет вид
,
где
– амплитудное значение напряжения;
– круговая частота;
– емкостное сопротивление.
В свою очередь, при протекании через индуктивность синусоидального тока
напряжение на индуктивности, согласно (1.3), будет равно
,
т.е. оно будет
опережать ток
на фазовый угол, равный
,
а выражение его амплитудного значения
примет вид
,
где
– амплитудное значение тока;
– индуктивное сопротивление.
Реактивные свойства элементов и можно учесть в более общем виде, введя понятие обобщенной комплексной амплитуды, представив действующие напряжения и токи в показательной форме:
и
,
где
и
– комплексные амплитуды соответственно
напряжения и тока;
– фазовый угол.
Подстановка этих выражений в (1.2) и (1.3) дает следующий результат:
и
.
Таким образом, между комплексными амплитудными значениями токов и напряжений элементов и имеют место следующие связи:
;
,
где
и
– комплексные сопротивления соответственно
емкости и индуктивности;
– мнимая частота.
Выражение (1.1) для сопротивлений также можно записать относительно комплексных амплитуд:
,
поэтому можно утверждать, что относительно комплексных амплитуд (комплексных амплитудных, действующих и мгновенных значений) закон Ома
(1.4)
справедлив для
участков цепей с активными (
),
емкостными (
)
и индуктивными (
)
элементами (
).