4.7. Рівність Парсеваля

Розглянемо рівняння (4.23):

,

яке одержали з нерівності Бесселя (4.22) при ортогональному розвиненні сигналу за повною ортогональною системою функцій. Воно має певний енергетичний зміст. Якщо норма введена як середня потужність сигналу:

,

то приходимо до рівності Парсеваля:

, (4.28)

де − середня потужність сигналу S(t);

− середня потужність базової функції .

Якщо ліву і праву частину рівності (4.28) помножимо на , то рівність Парсеваля набуває вигляду:

, (4.29)

де − енергія сигналу S(t);

− енергія базової функції .

4.8. Узгодження інтервалів інтегрування

Сигнал S(t) можна розкласти в узагальнений ряд Фур’є по будь-якому повному ортогональному базису , якщо інтервал визначення сигналу S(t) співпадає з інтервалом ортогональності базисних функцій. Досі ми це лише припускали, але таке узгодження інтервалів інтегрування ще треба забезпечити.

Будемо виходити з того, що коефіцієнти визначаються згідно рівнянь (4.25) або (4.26), тобто з умови мінімізації середньоквадратичного відхилення. При цьому повна система ортонормованих функцій забезпечує як завгодно точну апроксимацію (4.23):

.

Виходячи з цього рівняння, робимо висновок, що межі інтегрування функції можна змінювати за умови незмінності норми цієї функції.

Покажемо, що узгодження інтервалів можна досягнути шляхом зміни масштабу базисних функцій по осі t. Здійснимо розтяжку базисної функції тривалості , перетворивши його в функцію тривалості , визначимо норми цих функцій та порівняємо їх (рис. 4.2).

Розтяжку здійснимо згідно пропорції

.

При розтяжці функції в k разів інтеграл від неї збільшується теж в k разів.

Т

Рис. 4.2. 

ому

,

або

.

Це означає, що середні потужності фазових функцій при зміні масштабу по осі t залишаються незмінними. Але цього не можна сказати про енергію фазової функції. Маємо ще один аргумент, щоб норму сигналу визначати як його середню потужність.

Отже, якщо нормою є середня потужність, то всі базисні функції та сигнал S(t) можна розглядати на довільному інтервалі ортогональності, який визначається часом , тобто тривалістю дії сигналу S(t).

4.9. Ортонормований базис

Системою ортонормованих функцій або ортонормованим базисом називається така система ортогональних функцій, кожна функція якої нормована, тобто :

, (4.30)

де − символ Кронекера:

, (4.31)

Ортонормований базис може бути дійсним або комплексним.

Як правило, розклад функції S(t) в узагальнений ряд Фур’є здійснюється за ортонормованим базисом. Будь-яку ортогональну систему функцій на заданому інтервалі інтегрування легко перетворити в ортонормований базис шляхом ділення кожної базисної функції на її норму на заданому інтервалі інтегрування. Дійсно

.

Ортонормований базис – це частковий випадок більш загального ортогонального базису. Тому саме ортогональне розвинення сигналу дозволило виявити найбільш загальні, а тому найбільш важливі закономірності цього розвинення.

Прослідкуємо як умова впливає на одержані раніше формули. Перші зміни стосуються рівняння (4.17). Воно втрачає свою інваріантну форму (4.19) і розбивається на два різні рівняння в залежності від того, як введена норма функціонального простору. Відповідним чином зміниться вираз (4.18), нерівність Бесселя (4.21), рівняння (4.23) та рівності Парсеваля.

У випадку, коли нормою сигналу є його енергія, то . Тоді, згідно (4.17):

, (4.32)

тобто коефіцієнт розкладу як проекція сигналу S(t) на базисну функцію дорівнює взаємній енергії цих сигналів.

Нерівність Бесселя (4.22) набуде вигляду

, (4.33)

яку узагальнений ряд Фур’є перетворює в одну з двох рівностей Парсеваля. Рівність (4.29) залишиться без змін:

. (4.34)

А так як , то згідно (4.34)

. (4.35)

Тобто, рівність Парсеваля (4.28) набула вигляду (4.35).

Отже, якщо в якості норми сигналу береться його енергія, то повна енергія сигналу в ортонормованому базисі дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів розкладу , а повна середня потужність сигналу дорівнює цій сумі, поділеній на (b – a).

У випадку, коли нормою сигналу є його середня потужність, то згідно (4.17) при коефіцієнт розкладу визначається формулою

. (4.36)

Тобто, значення коефіцієнта розкладу як проекція сигналу S(t) на базову функцію дорівнює їх взаємній середній потужності.

Нерівність Бесселя (4.22) набуває вигляду

. (4.37)

Рівність Парсеваля (4.28) залишиться без змін

. (4.38)

Так як , то згідно рівнянню (4.38)

, (4.39)

тобто рівність Парсеваля (4.29) перетворюється в рівність (4.39).

Таким чином, якщо нормою сигналу є його середня потужність, то повна середня потужність сигналу в ортонормованому базисі дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів розкладу , а повна енергія сигналу дорівнює цій сумі, помноженій на (b − a).

Отже, перехід від ортогонального до ортонормованого базису, з одного боку, спрощує розрахункові формули, з другого боку, розбиває деякі формули на два види в залежності від того, як вводиться норма. В сучасній літературі все частіше схиляються до більш загального визначення норми через середню потужність. Ми теж будемо надавати перевагу формулам (4.35)-(4.39).

Рівність Парсеваля можна записати в загальному вигляді безвідносно до того, як визначена норма сигналу:

. (4.40)

Завжди норма сигналу дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів розкладу .

Якщо норма сигналу визначена як середня потужність, то рівняння (4.40) є розкладом середньої потужності сигналу. Тоді до розкладу повної енергії сигналу переходимо за допомогою формули:

. (4.41)

Якщо норма сигналу визначена як енергія, то рівняння (4.40) є розкладом повної енергії сигналу. Тоді до розкладу середньої потужності сигналу переходимо за допомогою формули:

. (4.42)

Такий підхід спрощує подвійне тлумачення рівності Парсеваля.