2.7.7. Цифровий одиничний імпульс

Цифровий одиничний імпульс задається як послідовність, хоча складається із одного дискретного відліку:

(2.60)

Зміщений на m відліків цифровий одиничний імпульс описується послідовністю

(2.61)

На рис. 2.25, а зображено незміщений імпульс, на рис. 2.25, b − зміщений на m = −2 відліків в сторону випередження (m < 0), а на рис. 2.25, с − зміщений на m = 2 відліків в сторону запізнення (m > 0).

Рис. 2.25. 

Цифровий одиничний імпульс зберігає інтегральні властивості дельта-функції і має фільтрувальні (селективні) властивості. Значення добутку при дорівнює нулю, а при дорівнює відліку . На рис. 2.26 проілюстровано множення вибірки і цифрового одиничного імпульсу , який дорівнює одиниці лише в точці . При множенні вибірок перемножуються лише відліки, що співпадають в часі.

Рис. 2.26. 

Добуток

.

Тобто, складається із одного дискретного імпульсу , який слідує на другому такті ( ), і дорівнює двом. Рівняння (2.55) розкриває фільтрувальні властивості дельта-функції стосовно достатньо гладкої функції . Після дискретизації одержимо послідовність . Приймаючи, що та замінюючи на , переходимо від інтеграла до суми:

. (2.62)

Сума (2.62) розкриває фільтрувальні властивості цифрового дискретного імпульсу стосовно дискретної послідовності .

Цифровий одиничний стрибок можна записати за допомогою цифрового одиничного імпульсу:

. (2.63)

Значення при дорівнює одиниці, при воно дорівнює нулю. Знак суми зберігає значення одиниці, яке з’явилось при , і вже після цього при значення, яке дорівнює одиниці, не міняється.

Цифровий одиничний імпульс можна визначити за допомогою цифрового одиничного стрибка:

. (2.64)

Рівняння (2.64) проілюстровано на рис. 2.27.

Рис. 2.27. 

Формули (2.63) та (2.64) встановлюють взаємно-однозначну відповідність між та .

Будь-яку послідовність можна задати за допомогою цифрового одиничного імпульсу наступним чином

. (2.65)

Ця формула відображає процедуру фільтрування значень послідовності при поетапному зміщенні на один такт для всіх значень n.

Основні властивості функцій , та їх дискретних прототипів , зведені в таблицю 2.1.

Таблиця 2.1

Функція і та їх дискретні аналоги і

Функція одиничного стрибка	Цифровий одиничний стрибок
Дельта-функція	Цифровий одиничний імпульс
при умові, що .
Зв’язок та	Зв’язок та
; .	; .

Продовження таблиці 2.1

як функція вмикання	як функція вмикання
.	.
.	.
Фільтруюча властивість	Фільтруюча властивість
	.