2.6. Зміщення сигналів в часі

Перш ніж розглянути приклади типових та особливих сигналів, вияснимо, як змінюється аналітична форма сигналу при зміщенні початку відліку осі часу на величину . Нехай задана аналітична форма імпульсу (рис. 2.4). При зміні початку відліку вправо на величину , тобто в точку О₁, графік функції не зміниться, але зміниться значення аргументу. Аналітична форма сигналу набуває вигляду . При зміщенні початку відліку вліво на величину , одержимо точку О₂, а аналітична форма сигналу прийме вигляд .

Тепер не будемо міняти системи відліку, а будемо зміщувати імпульс на величину (рис. 2.5). Зміщення сигналу вправо в сторону запізнення на величину рівносильне зміщенню системи відліку вліво, а тому . Зміщення сигналу вліво в сторону випередження на величину τ рівносильне зсуву системи відліку вправо, тому .

Як і в попередньому випадку зміщення розглядається як додатна величина, тобто як відстань. Такий запис сигналу зручний тоді, коли відстань подається як конкретне число. В цьому випадку сигнал сприймається однозначно і додаткові коментарі непотрібні.

Рис. 2.4. 

Рис. 2.5. 

Наприклад, запис означає, що сигнал зміщений в сторону випередження на 5 одиниць часу. Аргумент t + 5 цього зміщеного сигналу дорівнює нулеві при t = −5. Якщо , то сигнал зміщений в сторону запізнення на 2 одиниці часу. Його аргумент t − 2 дорівнює нулю при t = 2. А ось вживання у вигляді букви, наприклад, потребує додаткових роз’яснень.

Досить часто, особливо при аналітичних викладках, зміщення зручно розглядати як алгебраїчну величину: додатна при зміщенні сигналу у додатному напрямку осі t (при запізненні) та від’ємне при зміщенні сигналу у від’ємному напрямку осі t (при випередженні). Тоді, незалежно від знаку зміщення аналітична форма сигналу завжди однакова: , що досить зручно (рис. 2.6). Наприклад, при сигнал , що відповідає запізненню. При сигнал , що відповідає випередженню.

Рис. 2.6. 

При цифровій обробці сигналів досить часто замість роботи в реальному часі переходять до обчислень в умовному машинному часі з тактом, що дорівнює періоду дискретизації T. При цьому зміщення на m тактів в межах вибірки вважають додатною величиною, розглядаючи його як відстань.

Нехай імпульсний сигнал заданий функцією . Виділимо N відліків з кроком дискретизації Т. N значенням аргументу nТ, n = 0, 1, …, N − 1, відповідає N значень функції . При цьому

.

Тобто, дискретна функція при повторює значення аналогового імпульсу . Приймаючи Т за одиницю одержимо послідовність :

.

Вибірка об’ємом N презентує даний імпульс .

На рис. 2.7 зображені дискретні імпульси x(n) та його копії як з випередженням , так і з запізненням .

Рис. 2.7. 

Аналітичні вирази цих дискретних сигналів можна записати наступним чином:

Тут .

Міняючи форму запису нерівностей, які задають межі визначення послідовностей та , можемо перейти до послідовностей та .

Послідовність є зміщеною на m відліків в сторону запізнення, а послідовність − в сторону випередження послідовності .