2. Сигнал та його основні характеристики

2.1. Математична модель сигналу

Сигнал – фізичний процес, з допомогою якого в просторі та в часі відбувається перенесення інформації про досліджуваний об’єкт чи фізичне явище.

Найсуттєвіші властивості сигналів вивчають абстрагуючись від їх фізичної природи. Для того, щоб сигнал став об’єктом теоретичного вивчення, необхідно вибрати метод його математичного опису, тобто створити математичну модель сигналу.

Виділимо п’ять основних етапів математичного моделювання сигналів:

Вивчення фізичної природи сигналів та пошук відповідних математичних форм їх запису.
Оцінка адекватності моделі, тобто встановлення прийнятої відповідності математичної моделі та фізичного явища. Така оцінка здійснюється шляхом порівняння їх відповідних параметрів, характеристик, закономірностей, тощо. Математична модель повинна відображати найсуттєвіші властивості сигналу і при цьому буди водночас якомога точнішою і простішою. Межа такого компромісу суттєво залежить від змісту задачі, що розв’язується.
Розв’язування теоретичних та практичних задач з використанням математичних моделей сигналів.
Вивчення математичної моделі сигналу, як самостійного об’єкта дослідження.
Вдосконалення математичної моделі сигналу.

У загальному розумінні сигнал є функціональною залежністю однієї фізичної величини від іншої.

В якості математичних моделей сигналів використовуються функції однієї та багатьох змінних, вектор-функції та матриці.

В першу чергу, ми будемо розглядати сигнал як функцію деякої змінної S в залежності від часу t (рис. 2.1): .

При цифровій обробці сигналів реальний час t дискретизується t = nT, n = 0, 1, 2, … Як правило, крок T дискретизації розглядається як стала величина. Нормуючи T, тобто, приймаючи його значення за одиницю (T = 1), від функції S(t) переходять до відповідної послідовності S(n).

2.2. Векторні простори сигналів

Якщо сигнал представлений вибіркою об’ємом N, всі відліки якої , n = 0, 1, …, N – 1 упорядковані в часі і рівномірно розподілені на інтервалі з кроком дискретизації T (рис. 2.2), то вибірка може розглядатись як N-вимірний вектор , а відліки вибірки як проекції вектора на базову ортонормовану систему векторів .

Рис. 2.2.

Умову ортонормованості можна записати з допомогою скалярного попарного добутку

(2.1)

або більш компактно:

, (2.2)

де – символ Кронекера:

(2.3)

Кожній вибірці об’ємом N відповідає N-вимірний вектор

. (2.4)

Отже, N-вимірні вибірки довільних сигналів утворять N-вимірний векторний простір. Так як модуль вектора називають нормою вектора, то можна говорити про норму відповідної вибірки:

. (2.5)