3.7. Нелинейные модели регрессия и их линеаризация

Если между экономическими параметрами существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно переменных, но линейные по оцениваемым параметрам (коэффициентам уравнения регрессии).

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

При нелинейной зависимости признаков выделяют уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду (внутренне линейные) и уравнения, для которых этого сделать невозможно (внутренне нелинейные).

Параметры регрессии для внутренне линейных моделей определяются по МНК с той лишь разницей, что он применяется не к исходной информации, а к преобразованным данным.

Регрессии, нелинейные по включенным переменным, но линейные по оцениваемым параметрам сводятся к многофакторной линейной модели, например для полинома второй степени заменив , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

.

Для регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам следует подобрать линеаризующее преобразование, часто основанное на логарифмировании одного или обоих рядов исходных данных.

Линеаризующие преобразования для некоторых нелинейных моделей приведены в следующей таблице:

Зависимость	Формула	Преобразование	Исходные параметры
Гиперболическая
Степенная
Показательная
Экспоненциальная
Логарифмическая

МНК будет получено уравнение регрессии , после чего следует определить искомые параметры , записать уравнение нелинейной регрессии.

8. Оценка тесноты связи: коэффициент корреляции, индекс корреляции, коэффициенты эластичности и детерминации

Наряду с построением уравнения регрессии осуществляется оценка тесноты связи

между явлениями (между переменными).

Тесноту связи в случае линейной зависимости характеризуют с помощью

выборочного коэффициента корреляции r_xy

r_xy - коэффициент парной корреляции (-1 r_xy1)

Выборочный коэффициент корреляции r_xy связан с коэффициентом линейной регрессии b соотношением

Чем ближе величина r_xy к единице, тем теснее линейная связь и тем лучше линейная зависимость согласуется с данными наблюдений. При r_xy = 1 связь становится функциональной, т. е. соотношение выполняется для всех наблюдений.

При r_xy > 0 связь является прямой, при r_xy < 0 – обратной.

Уравнение нелинейной регрессии, также как и в линейной зависимости дополняется показателем тесноты связи между переменными , а именно индексом корреляции R

.

Величина данного показателя находится в границах ; чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности, в частности, средний коэффициент эластичности.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности значений фактора х изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1%:

Для линейной функции:

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения

регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации R².

В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции:

.

В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

(3.12)

Поясним смысл коэффициента детерминации. Пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

Тогда наблюдаемые (реальные) значения у_i, i = 1, 2, … , n, отличаются от модельных y_i на величину e_i:

Последнее соотношение можно переписать в следующем виде:

(*)

где − отклонение i-й (наблюдаемой) точки от среднего значения зависимой переменной Y;

− отклонение i-й точки на линии регрессии от ;

− отклонение i-й точки от модельного значения , определяемого по линии регрессии.

Все отклонения рассчитываются по оси зависимой переменной (см. рис. 3.3).

Рис.3.3.

Возведем обе части равенства (*) в квадрат и просуммируем полученные значения по объему выборки n:

Можно показать, что (доказательство опускаем для упражнения). Тогда справедливо следующее соотношение:

(3.13)

Очевидно, что

− общая (полная) сумма квадратов (может интерпретироваться как мера общего разброса (рассеивания) переменной Y относительно ). (TSS)

− объясненная сумма квадратов, интерпретируемая как мера разброса, объяснимого с помощью регрессии. (ESS)

− остаточная (необъясненная) сумма квадратов, являющаяся мерой остаточного, необъясненного уравнением регрессии разброса (разброса точек вокруг линии регрессии). (RSS)

Разделив (3.13) на левую его часть, получим:

.

Вводя обозначение , получаем соотношение (3.12). При этом очевидно, что коэффициент детерминации R² определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X.

определяет долю разброса зависимой переменной, необъясненную регрессией Y на X.

Из проведенных рассуждений следует, что в общем случае справедливо соотношение 0 ≤ R²≤ 1.

Коэффициент детерминации R² является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая Y = .

Следовательно, чем теснее линейная связь между Х и Y, тем ближе коэффициент детерминации R² к единице. Чем слабее такая связь, тем R² ближе к нулю.