5. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальные оценки коэффициентов линейной регрессии

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:

Сравним модуль расчетного значения t с табличным (критическим) значением:

если t_табл t_расч, то H₀ отклоняется, т.е. a и b не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x.

Если t_табл  t_расч, гипотеза H₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования параметров.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку  для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

6. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной регрессии

Предсказание индивидуального значения.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение у_р.

Точечный прогноз заключается в получении расчетного (прогнозного) значения , которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения х_р:

.

является точечной оценкой для у_р.

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ интервала, содержащего у_р с заданной вероятностью :

При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза

где .

Определяется предельная ошибка прогноза

- находится по таблицам распределения Стьюдента.

После чего строится доверительный интервал прогноза индивидуального значения:

Предсказание среднего значения (интервальная оценка уравнения регрессии). Пусть построено уравнение парной регрессии , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание переменной Y при X = x_р. В данном случае значение является точечной оценкой . Возникает вопрос, как сильно может уклониться модельное среднее значение , рассчитанное по эмпирическому уравнению регрессии, от соответствующего условного математического ожидания. Ответ на этот вопрос дается на основе интервальных оценок, построенных с заданной надежностью (1 − α) при любом конкретном значении x_р объясняющей переменной.

Стандартная и предельная ошибки прогноза расчетного значения по уравнению регрессии определяется соотношениями

Доверительный интервал для расчетного значения по уравнению регрессии определяется как:

Величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере удаления от среднего значения в обе стороны. Результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько прогнозное значение отклоняется от области наблюдений значений фактора x.

На графике доверительные границы для прогноза представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии

Видно, что длина доверительного интервала зависит от значения объясняющей

переменной х.