2.5.2. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле
Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям):
Примеры 2.8.
2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
2.57. Найти интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
;
5)
6)
;
7)
8)
dx;
9)
10)
;
11)
12)
13)
14)
15)
2.6. Определенный интеграл
Определение. Определенным интегралом от функции f(х) называется предел интегральной суммы:
При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Укажем свойства определенного интеграла, которые будут необходимы при решении задач:
1.
2.
3.
4.
Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f(х), равна
2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона–Лейбница:
где F′(x) = f(x).
2. Замена переменной:
где
x
=
– функция, непрерывная вместе с
на отрезке
– функция, непрерывная на отрезке
.
3.
Интегрирование по частям:
где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.
4.
Если f(x)
– нечетная
функция, то
5.
Если f(x)
– четная
функция, то
Пример 2.9.
1)
2.58. Вычислить интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
5)
;
6)
7)
;
8)
9)
10)
11)
;
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
2.6.2. Геометрические приложения определенного интеграла
Пример 2.10.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = у2.
Решение.
Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Площадь фигуры
2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1)
2)
5)
;
6)
7)
8)
9)
10)
2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:
2)
4)
Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу соответственно равен:
2.61. Найти длину дуги кривой:
1)
от х = 0 до х = 1; 2)
от х = 0 до х = 1;
3)
от точки О(0; 0) до точки А(4;
8).
Указание.
Длина дуги кривой
при
равна
