Тема 13. Статистичні розподіли та явища переносу в газах

Основні формули

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газу для тиску

, (13.1)

де m₀ – маса однієї молекули газу, n – концентрація молекул.

Середня квадратична, середня арифметична і найбільш імовірна швидкості молекул

. (13.2)

Розподіл Максвелла

, (13.3)

або

, (13.3а)

де - кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від до ; - загальна кількість молекул; - відносна швидкість молекул.

Барометрична формула

, (13.4)

де і — тиск газу відповідно на висоті і .

Розподіл Больцмана

, (13.5)

де — різниця потенціальних енергій частинок (молекул) на двох рівнях довільного потенціального поля, і — концентрації частинок (молекул) на цих рівнях.

Середня довжина вільного пробігу молекул газу

, (13.6)

де — концентрація молекул, — ефективний діаметр молекули.

Середня кількість зіткнень однієї молекули за одиницю часу

. (13.7)

Кількість зіткнень усіх молекул в одиниці об'єму за одиницю часу

. (13.8)

Середня кількість ударів молекул за одиницю часу об одиничну плоску поверхню, розміщену в газі,

. (13.9)

Маса газу , перенесеного під час дифузії за час через плоску поверхню , розміщену перпендикулярно до осі , при градієнті густини вздовж цієї осі (закон Фіка)

, (13.10)

де — коефіцієнт дифузії.

Сила внутрішнього тертя між двома шарами газу площею , що рухаються з різними швидкостями (закон Ньютона),

, (13.11)

де - коефіцієнт динамічної в’язкості; - градієнт швидкості течії газу в перпендикулярному до напрямі. Знак «мінус» вказує на те, що сила тертя, яка діє на більш швидкі шари газу, напрямлена проти швидкості.

Кількість теплоти, яка переноситься внаслідок теплопровідності за час через плоску поверхню при градієнті температури , перпендикулярному до ,

, (13.12)

де — коефіцієнт теплопровідності; - питома теплоємність газу при сталому об'ємі.

Методичні вказівки

1. У кінетичній теорії йдеться про статистичні закономірності в хаотичному русі величезної сукупності молекул газу, тому вживаються декілька середніх швидкостей, які пов’язані залежністю (13.1). Для одного й того ж газу при однаковій температурі маємо = 1,41 : 1,60 : 1,73.

Середньою квадратичною швидкістю користуються у випадку, коли необхідно розрахувати величину, яка пропорційна квадрату швидкості, наприклад, кінетичну енергію, тиск газу. Середньою швидкістю, коли вона входить у формулу в першому ступені, наприклад, середня кількість зіткнень молекули в одиницю часу, середній час пробігу, середній імпульс молекули. Найбільш імовірною швидкістю користуються при розв’язуванні задач, які пов’язані із законом розподілу молекул за швидкостями (13.3).

2. Основне рівняння кінетичної теорії газу (13.1), а також закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями (13.3) використовуються тільки у випадку не дуже стиснутих газів і пару.

Приклади розв’язування задач

Задача 13.1. Густина суміші азоту та водню при температурі 47⁰ С і тиску 2,00 ат дорівнює 0,30 г/л. Визначити концентрацію молекул азоту ( ) і водню ( ) у суміші.

Розв’язання: Концентрацію суміші газів можна визначити з формули (12.7): .

Необхідно мати ще одне рівняння, яке б пов’язувало невідомі і .

Визначимо молярну масу суміші газів з рівняння стану ідеального газу

.

З другого боку молярну масу суміші газів можна визначити з рівняння (12.10) або залучити одержану в задачі (12.2) формулу

.

Порівнюючи праві частини останніх рівнянь, отримаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь, складену з першого і останнього виразу, і виконуючи підстановку даних умови, взятих у необхідних одиницях, повинні отримати:

= 2,4· м^-3, = 4,2·10²⁴ м^-3.

Задача 13.2. Знайти середню квадратичну швидкість молекул газу густиною 1,8 кг/м³, що перебуває під тиском 150 кПа.

Розв’язання: З основного рівняння молекулярно - кінетичної теорії ідеального газу .

Оскільки n - концентрація молекул (тобто кількість молекул в 1 м³ газу), а m₀ - маса однієї молекули, визначимо густину за формулою: .

Тоді ; .

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

.

Задача 13.3 Посудина з газом, яка рухається зі швидкістю , миттєво зупинилась. Наскільки збільшиться при цьому середній квадрат швидкості теплового руху молекул газу у випадках: одноатомного і двохатомного газу?

Розв’язання: Застосуємо закон збереження енергії. Рухаючись зі швидкістю , газ, як ціле, має кінетичну енергію ,

де - маса газу в посудині.

Ця формула визначає кінетичну енергію направленого руху молекул, у якому вони беруть участь разом з посудиною. Після зупинки посудини направлений рух молекул завдяки їхньому зіткненню зі стінками посудини дуже швидко стане хаотичним. Якщо знехтувати теплообміном між газом і стінками посудини за розглядуваний малий проміжок часу, то газ можна вважати замкнутою системою. Тоді, згідно закону збереження енергії, ця кінетична енергія піде на збільшення внутрішньої енергії газу : .

Виконаємо розрахунки внутрішньої енергії газу.

У випадку ідеального одноатомного газу це є енергія поступального хаотичного руху молекул ,

де - маса молекули, - кількість молекул у посудині. Після перетворень та використання поняття середньої квадратичної швидкості отримаємо

.

Звідки випливає, що зміна внутрішньої енергії одноатомного газу під час зупинки буде дорівнювати

.

Звідки випливає, що зміна квадрату середньої квадратичної швидкості дорівнюватиме .

Внутрішня енергія ідеального двохатомного газу складається з енергії поступального і обертального руху молекул. При цьому три ступеня вільності припадає на поступальний рух і два – на обертальний. Згідно принципу рівномірного розподілу кінетичної енергії молекул за ступенями вільності, введеного Максвеллом у статистичну фізику, три п’ятих кінетичної енергії піде на збільшення енергії поступального руху молекул і дві п’ятих – на збільшення їхнього обертального руху. Таким чином одержуємо

,

звідкіля отримаємо другу відповідь: .

Задача 13.4 Яка частина молекул водню, що знаходиться при температурі T, володіє швидкостями, відмінними від найімовірнішої швидкості не більш ніж на 5,0 м/с? Задачу вирішити для двох значень : 1) 400 К, 2) 900 К.

Розв’язання: Розподіл молекул за швидкостями виражається рівнянням (13.3а), справедливим при умові . Оскільки в задачі йдеться про найімовірнішу швидкість, треба вважати

Отже, і рівняння (13.3а) набуде простішого вигляду:

.

Звідси знайдемо ту частину молекул, відносні швидкості яких лежать в інтервалі :

. (1)

Перш ніж проводити розрахунки по (1), необхідно переконатися в тому, що виконується умова . Оскільки , то

(2)

Щоб обчислити по (2), знайдемо спочатку найімовірнішу швидкість за формулою (13.2) при = 400 К і = 900 К відповідно: = 1820 м/с, = 2730 м/с.

Підставляючи ці значення в (2) і маючи на увазі, що = 10 м/с, оскільки в задачі йдеться про швидкості, що лежать в інтервалі від - 5 м/с до + 5,0 м/с, отримаємо: = 1/182, = 1/273.

Оскільки = 1, бачимо, що умова виконується для обох температур. Тепер за формулою (1) знайдемо відповіді:

= 0,0046, = 0,0030.

Примітка. Отже, при збільшенні температури найімовірніша швидкість молекул збільшується, а кількість молекул, швидкості яких лежать в одному і тому ж інтервалі біля найімовірнішої, зменшується.

Задача 13.5 Знайти кількість зіткнень, які відбуваються протягом секунди між всіма молекулами, що знаходяться в об'ємі = 1,0 мм³ водню за нормальних умов. Прийняти для водню ефективний діаметр молекули = 2,3·10^-10 м.

Розв’язання: Кількість зіткнень, здійснених однією молекулою за секунду, визначається формулою (13.7). Щоб встановити співвідношення між величинами і z, врахуємо, що якщо помножити кількість зіткнень однієї молекули за секунду на кількість усіх молекул N, то отримаємо результат, що перевищує в два рази шукане число z. Дійсно, в одному зіткненні беруть участь відразу дві молекули, тому в число N кожне зіткнення входить двічі: один раз за рахунок зіткнень однієї з молекул даної пари, інший раз - за рахунок зіткнень другої молекули. Отже, правильним буде вираз

(1)

де п — концентрація молекул. Підставивши в (1) замість його значення по (13.7), отримаємо

.

Знайдемо з формули (12.7) концентрацію п молекул і скористаємося виразом (13.2) для середньої арифметичної швидкості . Тоді остаточно для маємо

.

Виразимо величини, що входять у формулу, в одиницях СІ: V = 1,0·10^-9 м³, р = 1,0·10⁵ Па, Т = 273 К = 2,0·10^-3 кг/моль, = 1,38·10^-23 Дж/К, R = 8,31 Дж/(моль·К). Підставивши ці значення у формулу і виконавши обчислення, отримаємо = 1,6·10²⁶ 1/с.

Задача 13.6. Супутник зв'язку об'ємом 50 м³ наповнений при нормальних атмосферних умовах сумішшю азоту і гелію, причому = . Корпус супутника пробиває космічна частинка діаметром 1 мм. Оцінити склад газу, що витікає через отвір, а також час, протягом якого кількість молекул азоту і гелію окремо зменшиться на 0,1%. Процес вважати ізотермічним.

Розв’язання: Через повну хаотичність руху молекул у напрямі отвору буде переміщуватися 1/6 усіх молекул. Будемо вважати, що швидкість усіх молекул одного сорту однакова і, згідно з формулою (13.1), дорівнює

. (1)

За час з отвору вилетять ті молекули азоту, які перебували на відстані , і ті молекули гелію, які перебували на відстані .

Через отвір, площа якого , вилетять ті молекули азоту, що знаходилися в об'ємі , і молекули гелію, які знаходилися в об'ємі .

Кількість молекул азоту і гелію в одиниці об'єму (концентрація) дорівнює:

; . (2)

Кількість молекул різного сорту, які вилетять через отвір за час :

; .

Відношення цих кількостей молекул, після використання формул (1) і (2) дорівнює

= 19.

Отже, з отвору вилітає газ у співвідношенні: на 19 молекул гелію припадає одна молекула азоту. За час частина молекул гелію вилітає із супутника і їхня кількість в одиниці об'єму зменшиться на .

Відносне зменшення, згідно з умовою, становитиме

.

Звідси, після підстановки відомих величин, отримаємо =300 с.

Аналогічно для азоту маємо = 760 с.

Задача 13.7. Обчислити коефіцієнти внутрішнього тертя і дифузії кисню, який перебуває під тиском 0,2 МПа і при температурі 280 К. Ефективний діаметр молекули кисню вважати таким, що дорівнює 2,9·10^-10 м.

Розв’язання: Відповідно до молекулярно-кінетичної теорії газів коефіцієнт дифузії та коефіцієнт внутрішнього тертя визначаємо за формулами:

; ; ,

де - середня довжина вільного пробігу молекул; - середня арифметична швидкість молекул; - густина газу.

Середня арифметична швидкість та середня довжина вільного пробігу молекул визначаються за формулами:

; ,

де R - універсальна газова стала; n - концентрація молекул.

Згідно з основним рівнянням молекулярно - кінетичної теорії .

Тоді .

Підставляючи вирази для і у формулу для визначення D, дістаємо:

.

Густина кисню = nm_о , де маса однієї молекули, N_A =6.02·10²³ моль^-1.

Коефіцієнт внутрішнього тертя:

.

Перевіряємо одиниці вимірювання:

;

.

Виконуємо обчислення:

;

.

14 - 15. Основи термодинаміки. Перший и другий початок (або закон) термодинаміки.

Основні формули

Перший закон термодинаміки

, (14.1)

де - елементарна кількість теплоти, що підводиться до термодинамічної системи; - зміна внутрішньої енергії системи; - робота, виконувана системою проти зовнішніх сил при нескінченно малій зміні об’єму.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу

, (14.2)

де - зміна температури; - молярна теплоємність (кількість теплоти, яка необхідна для нагрівання одного молю речовини) газу при ізохорному процесі; - кількість ступенів вільності молекул газу.

Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра) молярна теплоємність газу при

. (14.3)

Молярна теплоємність суміші газів, яка складається з компонентів

. (14.4)

Питома теплоємність вимірюється кількістю теплоти, яка необхідна для нагрівання одиниці маси речовини на один кельвін

. (14.5)

Зв’язок між питомою і молярною теплоємкостями

. (14.6)

Робота, виконувана газом при ізобарному процесі

. (14.7)

Робота при ізотермічному процесі

. (14.8)

Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона)

, або , або , (14.9)

де — показник адіабати.

Робота при адіабатному процесі

, (14.10)

або

. (14.10а)

Рівняння політропного процесу

, (14.11)

де — показник політропи; — молярна теплоємність газу при політропному процесі.

Робота при політропному процесі

, (14.12)

або

. (14.13)

Другий початок термодинаміки: ентропія ізольованої системи тіл може або зростати, або залишатися незмінною. Інакше кажучи, в ізольованій системі можуть відбуватися лише такі процеси, які ведуть до зростання ентропії, до вирівнювання температур.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (15.1)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику. ККД ідеального циклу Карно

, (15.2)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Холодильний коефіцієнт холодильної машини

, (15.3)

де — кількість теплоти, яка відбирається від охолоджуваного тіла за цикл; - робота, виконувана над робочим тілом за цикл; - кількість теплоти, яка передається навколишньому середовищу.

Холодильний коефіцієнт ідеального, оберненого циклу Карно

, (15.4)

де - температура середовища, якому передається теплота; - температура охолоджуваного тіла.

Приріст ентропії при переході термодинамічної системи із стану 1 у стан 2

. (15.5)

Ентропія і термодинамічна ймовірність (статистична вага) пов'язані співвідношенням , де - стала Больцмана.

Методичні вказівки

1. Приступаючи до вирішення задачі з даної теми, перш за все необхідно з'ясувати характер процесу, що протікає в газі (зрозуміло, якщо про це не сказано в умові). Як правило, це не викликає труднощів у разі изохорного (V = const) або ізобарного (p = const) процесу.

Для здійснення ізотермічного процесу ( = const) розширення або стиснення газу необхідний достатній теплообмін між газом і навколишнім середовищем. Цьому сприяють велика теплопровідність стінок посудини, в якій знаходиться газ, і повільне протікання процесу. Навпаки, умовою адіабатичного процесу розширення або стиснення газу є відсутність теплообміну між газом і навколишнім середовищем. Ця умова на практиці виконується тим точніше, чим менше теплопровідність стінок посудини, що містять газ, і чим швидше протікає процес.

2. В ізохорному та ізобарному процесах кількість теплоти, отримана газом, завжди пов'язана із зміною його температури:

,

де = при ізохорному процесі і С = Ср при ізобарному (при цьому Ср > ). Оскільки обидві мольні теплоємності Ср і — величини позитивні, знаки приростів dQ і dT завжди співпадають. Отже, при нагріванні (dT > 0) газ одержує тепло (dQ > 0) і, навпаки, при охолоджуванні (dT < 0) газ віддає тепло (dQ < 0).

Разом з тим при ізотермічному та адіабатичному процесах не існує зв'язку між приростом температури газу і кількістю теплоти, надоної їм, із тієї причини, що в першому процесі відсутня зміна температури (dT = 0), хоча газ при цьому одержує або віддає тепло. А в другому процесі, навпаки, газ не одержує і не віддає тепла (dQ = 0), хоча при цьому змінюється його температура.

3. Тут розглянуті задачі, пов'язані зі зворотнім циклом Карно, і задачі на розрахунок зміни ентропії. В останніх використовуються найважливіші властивості ентропії: 1) ентропія є функцією стану; 2) ентропія складної системи дорівнює сумі ентропій її частин (властивість аддитивності).

4. Розраховувавши зміну ентропії тіла, слід пам’ятати, що тут означає кількість теплоти, отриману тілом. Тому, якщо тіло віддає тепло, величину , слід ставити в (15.5) із знаком «—».

5. Якщо перехід тіла з початкового стану в кінцевий здійснюється декількома послідовно протікаючими процесами, то повна зміна ентропії, дорівнює сумі алгебри змін ентропії у кожному процесі.

6. Співвідношення (15.5) виражає зміну ентропії тільки у зворотному процесі. Спосіб розрахунку зміни ентропії у незворотному процесі розглянутий у задачі № 14.8.