МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

криворізький технічний університет

кафедри фізики

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання індивідуальних завдань з курсу фізики

розділ «ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ РЕЧОВИНИ»

(контрольна робота №2)

для студентів всіх спеціальностей

денної та заочної форми навчання

Кривий Ріг

2009 р

Укладачі: В.І. Мулявко, Л.П. Думанська, Л.В. Козак.

Відповідальний за випуск:

Рецензент:

Методичні вказівки включають необхідні основні формули, приклади розв’язування задач, контрольні завдання для самостійного рішення з розділу «.ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ РЕЧОВИНИ СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ ТА ЯВИЩА ПЕРЕНОСУ В ГАЗАХ. ТЕРМОДИНАМІКА».

Розглянуто на засіданні ради консультаційного центру протокол № від 12. 03. 08

П Е Р Е Д М О В А

При вивченні курсу фізики у вищих навчальних закладах велике значення має практичне застосування теоретичних знань, зокрема вміння студентами розв’язувати задачі.

Методичні вказівки мають таку структуру: спочатку подаються короткі теоретичні відомості, основні закони і формули, які використовуються при розв’язанні, потім приклади розв’язання найбільш типових задач з поясненням. Наприкінці – варіанти завдань, які студенти повинні виконати.

Тема 12. Основи молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

Основні формули

Атомна одиниця маси кг. Відносна молекулярна маса або відносна маса молекули

, (12.1)

де — абсолютне значення маси молекули, кг.

Відносна молекулярна маса речовини

, (12.2)

де — кількість атомів -го хімічного елемента, що входить до складу молекули даної речовини; — відносна атомна маса цього елемента (відносні атомні маси наведено в таблиці Менделєєва).

В одному молі довільної речовини міститься однакова кількість структурних елементів (стала Авогадро) = 6,02 10²³ моль-¹.

Молярна маса (кг/моль). Кількість молів речовини

, (12.3)

де — кількість структурних елементів (молекул) речовини, — маса речовини.

Кількість молів суміші речовин

. (12.4)

Основне рівняння кінетичної теорії газів

, (12.5)

де —тиск газу; — концентрація молекул ( - об’єм газу); — середня кінетична енергія поступального руху молекули.

Середня енергія молекули

, (12.6)

де Дж/К - стала Больцмана; — термодинамічна температура газу.

Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури

. (12.7)

Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва — Клапейрона)

, (12.8)

де = 8,31 Дж/(моль·К) — універсальна газова стала.

Тиск суміші газів (закон Дальтона)

, (12.9)

— парціальний тиск -ї компоненти суміші; — кількість компонентів.

Молярна маса суміші газів

, (12.10)

де — маса компоненти суміші; — кількість молів -ї компоненти суміші.

Методичні вказівки

1. Рівняння стану ідеального газу використовують для газів, які знаходяться в умовах, близьких до нормальних ( Па), а також до розряджених газів. Для дуже стиснутих газів (якщо тиск перевищує Па) або газів, які знаходяться при низькій температурі, рівняння Клапейрона - Менделєєва використовувати не можна.

2. В умовах деяких задач даються показники технічних манометрів. Вони побудовані так, що вимірюють не повний тиск газів у балоні, а лише надлишок його над атмосферним. Тому повний тиск у балоні дорівнює показнику манометра, збільшеному на атмосферний тиск.

3. Наведемо співвідношення між деякими позасистемними одиницями тиску, які зустрічаються в літературі:

1 атм (фізична атмосфера) = 760 мм рт. ст. = Па;

1 ат (технічна атмосфера) = 1 кгс/см² = 9,8· Па.

Під час розв’язку задач невеликою різницею між 1 атм і 1 ат часто нехтують.

Приклади розв’язування задач

Задача 12.1 У балоні об’ємом 10 л. міститься гелій під тиском 1 МПа та при температурі 300 К. Після того як із балона було взято 10 г гелію, температура в балоні знизилася до 290 К. Визначити тиск гелію, що залишився в балоні.

Розв’язання: Скористаємося рівнянням Менделєєва - Клапейрона:

,

де m₂ - маса гелію в балоні в кінцевому стані; М – молярна маса гелію; R - газова стала. Звідси тиск .

Масу m₂ гелію виразимо через масу m₁, що відповідає початковому стану, та масу гелію, взятого з балона: m₂ = m₁ - ∆m.

Масу m₁ гелію знаходимо також з рівняння Менделєєва - Клапейрона:

.

Виразивши m₂ через m₁ і ∆m та підставивши у формулу для р₂ , дістанемо:

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

.

Задача 12.2. Визначити молярну масу повітря, вважаючи, що вона складається з однієї частини кисню і з трьох частин азоту.

Розв’язання: Ідеальним газом можна вважати не тільки хімічно однорідні гази, а й газові суміші. У цьому випадку суміші приписують так звану уявну молярну масу таким чином, щоб вона задовольняла рівнянню газового стану, записаного для суміші: .

Для розв’язку даної задачі скористаємось законом Дальтона для суміші газів: ,

де і - парціальні тиски кожного газу, для визначення яких запишемо рівняння стану:

.

Розв’язок останніх трьох рівнянь дає

.

З порівняння останнього і першого рівнянь і, вважаючи, що маса суміші , знайдемо

,

звітки маємо

.

Якщо підставити значення величин в одиницях системи СІ і врахувати співвідношення , то отримаємо

кг/моль.

Задача12.3. Визначити кількість молекул, що містяться в 1 мм³ води, і масу молекули води. Вважати, що молекули води мають форму кульок, що зіштовхуються одна з одною. Знайти діаметр молекул.

Розв’язання: Кількість N молекул, що містяться в деякій системі масою m, дорівнює добутку сталої Авогадро N_А на кількість молів v речовин:

N = v·N_А .

Оскільки v = m /М, де М - молярна маса, то .

Визначивши в цій формулі масу як добуток густини на об’єм V, дістанемо:

.

Масу m₁ однієї молекули знаходимо за формулою

m₁ = М /N_A.

Якщо молекули води щільно прилягають одна до одної, то можна вважати, що на кожну молекулу припадає об’єм (кубічна комірка) V₁ = d³ , де d - діаметр молекули.

^.

Тоді об’єм V₁ знайдемо, поділивши молярний об’єм V_m на кількість молекул у молі, тобто на N_A :

, де V_m = ,

Тоді V₁ = ; .

Перевіряємо одиниці вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

; ; .

Задача 12.4 Скільки часу необхідно відкачувати газ з колби об’ємом см³ насосом, щоб тиск знизився від атмосферного = 760 мм рт. ст. до = 0,1 мм рт. ст.? Швидкість дії насосу вважати постійною і рівною = 180 см³/с. Зміною температури під час роботи насосу знехтувати.

Розв’язання: Швидкість дії насоса вимірюється об’ємом газу, який щосекунди переходить з колби в камеру насосу, а потім в атмосферу, тобто

.

Згідно з умовою задачі, відкачування відбувається ізотермічне згідно з законом Бойля – Маріота, в якому маса газу залишається сталою: .

Диференціюємо останній вираз .

Ділимо цей вираз на і, враховуючи перший вираз, маємо

.

Отримане диференційне рівняння виражає залежність тиску в колбі від часу. Поділимо змінні в цьому рівнянні

.

Звідки отримаємо

= 74 с.

Задача 12.5 Знайти середню кінетичну енергію обертального та поступального рухів однієї молекули кисню при температурі 350 К, а також кінетичну енергію всіх молекул кисню масою 4 г.

Розв’язання: На кожен ступінь свободи молекули газу припадає однакове значення середньої кінетичної енергії

,

де к - стала Больцмана; Т - термодинамічна температура газу.

Обертальному руху двохатомної молекули (молекула кисню - двохатомна) відповідають два ступені, а поступальному - три ступені свободи.

Середня кінетична енергія обертального руху молекули кисню:

Середня кінетична енергія поступального руху молекули кисню:

Загальна середня кінетична енергія молекули кисню:

Кінетична енергія всіх молекул кисню:

Кількість молекул газу:

де N_А - стала Авогадро; - кількість молів газу.

Якщо М - молярна маса газу, то

; .

Оскільки k·N_A = R, остаточно формула для Е_К набирає вигляду

,

де R = 8,31 Дж /(моль·К) - універсальна газова стала.

Перевіряємо одиниці вимірювання:

;

Виконуємо обчислення:

.

.

.