§ 2. Динаміка матеріальної точки. Закони ньютона
Основний закон динаміки (другий закон Ньютона) для тіл із сталою масою
. (1.29)
Другий закон Ньютона в загальній формі
, (1.30)
де
=
— імпульс точки;
— результуюча
зовнішня сила.
Якщо на тіло діють декілька сил, то основне рівняння динаміки у векторній формі має вигляд
. (1.31)
У проекціях на координатні осі
(1.32)
Радіус-вектор, який визначає положення центра мас системи матеріальних точок у просторі відносно будь якої точки 0:
, (1.33)
де
- маса
-частинці,
- її радіус–вектор с початком у точці
0.
Імпульс системи матеріальних точок дорівнює сумі імпульсів її окремих точок:
. (1.34)
§ 3. Робота, потужність, енергія
Робота сталої сили ( = const)
, (1.35)
де
— вектор переміщення;
— кут між напрямами дії сили і переміщення.
При змінній силі,
тобто
,
переміщення розбивають на елементарні
переміщення
такої
величини, щоб в межах цього переміщення
силу можна було
вважати
сталою. Тоді елементарна робота сили
на переміщенні
буде
. (1.36)
Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2,
. (1.37)
Середня потужність сили
. (1.38)
Миттєва потужність, тобто потужність у даний момент часу,
. (1.39)
Зв'язок потужності з діючою силою і швидкістю руху
, (1.40)
де
кут між силою і швидкістю дорівнює
.
Кінетична енергія матеріальної точки
, (1.41)
де
- маса точки;
- швидкість руху точки.
Приріст кінетичної енергії матеріальної точки
, (1.42)
де
— робота результуючої всіх сил, що
діють на матеріальну точку.
Потенціальна
енергія тіла масою
,
піднятого над поверхнею планети на
висоту
, (1.43)
де
- прискорення вільного падіння на цій
планеті.
Потенціальна енергія пружно деформованого тіла
, (1.44)
де
- коефіцієнт жорсткості тіла;
- величина пружної деформації.
Зменшення потенціальної енергії матеріальної точки дорівнює роботі сил поля:
. (1.45)
Приріст повної механічної енергії матеріальної точки в потенціальному полі
, (1.46)
де
— алгебраїчна сума робіт всіх сторонніх
сил, що діють на тіло.
Закон зміни імпульсу системи
, (1.47)
де — імпульс системи; — результуюча всіх зовнішніх сил.
У замкненій системі повний імпульс не змінюється (закон збереження імпульсу):
. (1.48)
Момент імпульсу
матеріальної точки
відносно деякого центра О
, (1.49)
де
— радіус-вектор, проведений з центра
О
до розглядуваної матеріальної точки;
—
імпульс матеріальної точки.
Закон зміни моменту імпульсу системи
, (1.50)
де
— сумарний момент всіх зовнішніх сил.
Закон збереження
моменту імпульсу
замкнутої системи матеріальних точок
. (1.51)
Момент сили відносно деякої точки О
, (1.52)
де
— радіус-вектор, проведений з точки О
в точку прикладання сили
.
Векторний добуток цих векторів можна
написати у вигляді
, (1.53)
звідки значення
складової, наприклад по вісі
,
дорівнює
.