3.1. Два точкових заряди, що знаходячись в повітрі на відстані = 20 см один від одного, взаємодіють з деякою силою. На якій відстані R треба помістити ці заряди в маслі, щоб отримати ту ж силу взаємодії?

3.1.

Дано

= 20 см = 3

= ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для двох випадків розташування зарядів – у повітрі і маслі:

, (3)

Порівняємо праві частини рівнянь системи (3) і одержимо вираз для розрахунку відстані R, на якій треба помістити ці заряди в маслі, щоб отримати ту ж силу взаємодії, що і в повітрі:

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у системі СІ у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.2. Знайти напруженість електричного поля в точці, що лежить посередині між точковими зарядами q₁ = 8 нКл і q₂ = 6 нКл. Відстань між зарядами 10 см.

3.2.

Дано

= 10 см = 3 q1 = 8 нКл q2 = 6 нКл

= ?

Рис. 3.2

Розв’язок.

Напруженість електричного поля

, (1)

З означення напруженості випливає, що, коли внести в якусь точку електричного поля частинку, заряд якої , то на цю частинку діятиме сила

, (2)

де - вектор напруженості в цій точці поля.

Напруженість поля, яке створене точковим зарядом:

; у векторній формі , (3)

де = 9∙10⁹ м/Ф – коефіцієнт пропорційності; r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

За принципом незалежності дії сил рівнодійна сила дорівнює геометричній сумі складових, тобто

. (4)

Тоді можна стверджувати, що виконується така рівність:

, (5)

тобто напруженість електричного поля декількох зарядів дорівнює геометричній сумі напруженості, яку створюють кожний з зарядів окремо. Згідно з рис. 3.2 загальна напруженість поля дорівнює різниці напруженості поля першого і другого зарядів і направлена в сторону другого заряду. Запишемо ці напруженості для заданої точки поля:

(6)

Напруженість електричного поля в точці, що лежить посередині між точковими зарядами згідно з формулами (5) та (6) дорівнюватиме

. (7)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (у системі СІ) у формулу (7) і отримаємо відповідь:

=

3

Рис. 3.3

.3. Відстань між зарядами Q₁ = 100 нКл і Q₂ = - 50 нКл дорівнює = 10 см. Визначити силу, яка діє на заряд Q₃ =1 мкКл, що відстоїть па відстані = 12 см від заряду Q₁ і на відстані = 10 см від заряду Q₂.

3.3.

Дано

Q1 = 100 нКл Q2 = - 50 нКл = 10 см = 1 Q3 =1 мкКл = 12 см = 10 см

= ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для двох випадків взаємодії зарядів: між першим і третім та між другим і третім:

, (3)

Згідно рис. 3.3, сили з системи (3) напрямлені під кутом друг відносно другого, тому їхній добуток знаходимо за формулою косинусів:

. (4)

Величину визначимо з трикутника , до якого застосуємо теорему косинусів:

. (5)

Отриману величину з формули (5) підставляємо в вираз (4) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.4. Довгий прямий тонкий дріт несе рівномірно розподілений заряд. Обчислити лінійну густину заряду, якщо напруженість поля на відстані = 0,5 м від дроту проти його середини складає Е = 2 В/см.

4. Розв’язок.

Т

Рис. 3.4

Дано

= 0,5 м Е = 2 В/см

= ?

ак як заряджений дріт не можна вважати точковим зарядом, то не можна визначити напруженість поля безпосередньо за формулою для напруженості точкового заряду. Розглянемо спочатку елемент dx стержня, що знаходиться на відстані х від його середини (рис. 3.4). Заряд цього елемента dq = dx. Вважаючи його точковим, знайдемо напруженість поля заряду dq в точці А за формулою:

. (1)

Шукана напруженість поля в точці А дорівнює сумі елементарних напруженості , створених в цій точці усіма елементами стержня, які мають різний напрям. Отже, їх векторна сума не дорівнює сумі їх модулів і не може бути виражена інтегралом .

При цьому, як видно з рис.3.4, проекції вектора на координатні вісі дорівнюють

(2)

Визначимо dx, для цього диференціюємо вираз

,

і отримаємо

. (3)

Підставимо в (2) вирази з (1) і (3)

(4)

Таким чином, ми звели завдання до складання однаково спрямованих векторів і ,

(5).

де , - кути, під якими видно кінці стержня з точки, в якій визначається напруженість поля:

(6)

а шукана напруженість виразиться формулою теореми Піфагора

. (7)

Підставивши в (7) значення величин з (5), отримаємо

. (8)

Тепер розглянемо окремі випадки завдання.

1. Точка А лежить проти середини стержня, тобто , тоді маємо

. (9)

2. Нерівність а >>2 ( ) означає, що можна знехтувати розмірами стержня порівняно з відстанню від нього до цієї точки, тобто, заряд стержня можна вважати точковим. Тоді знайдемо

. (10)

3. З нерівності а << 2 випливає, що ця точка знаходиться поблизу тонкого стержня і далеко від його кінців. Це відповідає нескінченно довгому стержню (нитки, циліндру), коли . Отже маємо

. (11)

З формули (11) визначаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (12)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (12) і отримаємо відповідь:

=

3.5. В центр квадрата, в кожній вершині якого знаходиться заряд q = 2,33 нКл, вміщений негативний заряд q₀. Знайти цей заряд, якщо результуюча сила, що діє на кожний заряд q, дорівнює нулю.

3.5.

Дано

q = 2,33 нКл

q0 = ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Я

Рис. 3.5

кщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для всіх випадків взаємодії зарядів:

, (3)

Згідно рис. 3.5, сили і з системи (3) напрямлені під кутом 90^о друг відносно другого, тому їхній добуток знаходимо за формулою:

. (4)

З рис. 3.5 видно, що повинна виконуватися рівність:

. (5)

Розв’язуємо рівняння (5) відносно шуканого заряду і отримаємо рівняння

q₀ = (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (6) і отримаємо відповідь:

q₀ =

3.6. Два точкових заряди q₁ = 7,5 нКл і q₂ = - 14,7 нКл розташовані на відстані = 5 см. Знайти напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на відстанях = 3 см від позитивного заряду і = 4 см від негативного заряду.

3.6.

Дано

q1 = 7,5 нКл q2 = - 14,7 нКл = 5 см = 1 = 3 см = 4 см

= ?

Розв’язок.

(1)

В

Рис. 3.6

ідповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожний заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженості і полів, що утворюється кожним зарядом окремо: . Напруженості електричного поля, що утворюється в повітрі ( = 1) зарядами і ,

(1)

Вектор (рис. 3.6) спрямований по силовій лінії від заряду , тому що цей заряд позитивний; вектор спрямований також по силовій лінії, але до заряду , тому що цей заряд негативний.

Модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

, (2)

де - кут між векторами і , який можемо знайти із трикутника зі сторонами і . (3)

Підставляючи вираз і із (1), косинуса з (3) у (2) і виносячи спільний множник 1/(4л ) за знак кореня, одержуємо

(4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.7. Дві кульки однакових радіуса і маси підвішені на нитках однакової довжини так, що їх поверхні стикаються. Після надання кулькам заряду q = 0,4 мкКл вони відштовхнулися одна від одної і розійшлися на кут = 60°. Знайти масу кульки, якщо відстань від центра кульки до точки її підвісу = 20 см.

Рис. 3.7

3.7.

Дано

q = 0,4 мкКл = 60° = 20 см

= ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів:

, (3)

де оскільки трикутних складений нитками рівносторонній.

Згідно рис. 3.7, сили і зрівноважують одна одну тому заряди знаходяться в рівновазі. Останню силу визначаємо з прямокутного трикутника і отримуємо рівняння:

, (4)

З рівняння (4) отримуємо вираз для розрахунку маси кульки:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (5) і отримаємо відповідь:

=

3.8. Дві кульки однакових радіуса і маси підвішені на нитках однакової довжини так, що їх поверхні стикаються. Який заряд q треба надати кулькам, щоб сила натягу ниток стала рівною = 98 мН? Відстань від центра кульки до точки її підвісу = 10 см; маса кожної кульки m = 5 г.

3

Рис. 3.8

.8.

Дано

= 98 мН = 10 см = 5 г

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.8 випливає, що кулі будуть в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів:

, (4)

де визначаємо з подібності прямокутних трикутників і :

, (5)

З трикутника сил та формул (1), (4) та (5) отримаємо

. (6)

З рівняння (6) отримуємо вираз для розрахунку заряду куль:

= (7)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (5) і отримаємо відповідь:

=

3.9. До зарядженої нескінченної площини з поверхневою густиною заряду σ = 40 мкКл/м², підвішена однойменно заряджена кулька масою = 1 г і зарядом q = 1 нКл. Який кут ß з нескінченною площиною утворить нитка, на якій висить кулька?

3

Рис. 3.9

.9.

Дано

σ = 40 мкКл/м2 = 1 г q = 1 нКл

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.9 випливає, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з зарядженою поверхнею, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного поля створеного зарядженою нескінченною площиною, яку визначаємо за формулою

, (3)

Кут визначаємо з трикутника сил:

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.10. До зарядженої нескінченної площини, підвішена однойменно заряджена кулька масою 0,4 мг і зарядом q = 667 пКл. Сила натягу нитки, на якій висить кулька, = 0,49 мН. Знайти поверхневу густину заряду σ на площині.

3

Рис. 3.10

.10.

Дано

= 0,4 мг q = 667 пКл = 0,49 мН

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.10 випливає, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

. (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з зарядженою поверхнею, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного поля створеного зарядженою нескінченною площиною, яку визначаємо за формулою

. (3)

Силу знаходимо з прямокутного трикутника сил за теоремою Піфагора:

. (4)

Знаходимо поверхневу густину заряду σ з формули (4):

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (5) і отримаємо відповідь:

= =

3.11. Дві довгі однойменно заряджені нитки розташовані на відстані = 10 см одна від одної. Лінійна густина заряду на нитках = 10 мкКл/м. Знайти модуль напруженості електричного поля в точці, що знаходиться на відстані = 10 см від кожної з ниток.

Рис. 3.11

3.11.

Дано

= 10 см = 10 мкКл/м

= ?

Розв’язок.

Лінійна густина заряду дорівнює

. (1)

Якщо точка лежить проти середини нитки, тобто = ; в) нескінченно довгого прямого рівномірно зарядженого циліндра:

, (2)

де - лінійна густина заряду; а - відстань від нитки до точки, в якій визначається напруженість; - кути, під якими видно кінці нитки з точки, в якій визначається напруженість поля.

З рис. 3.11 випливає, що модуль напруженості поля, яке створене двома зарядженими нитками визначаємо за формулою теореми косинусів:

. (3)

Значення = 0,5 знаходимо з трикутника (див. рис. 3.11) та разом з величинами, які задані в умові задачі, підставляємо у формулу (3) і отримаємо відповідь:

=

3.12. Мідна куля радіусом = 0,5 см занурена в масло. Густина масла ρ = 0,8 10³ кг/м³. Знайти заряд кулі, якщо в однорідному електричному полі вона виявилася зрівноваженою в маслі. Електричне поле направлене вертикально вгору і його напруженість = 3,6 МВ/м.

Рис. 3.12

3.12.

Дано

= 8,6∙103 кг/м3 = 0,5 см ρ = 0,8 103 кг/м3 = 3,6 МВ/м.

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.12 видно, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність модулів сил:

. (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з електричним полем, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного.

Силу знаходимо за формулою закону Архімеда:

. (3)

Вагу кулі визначаємо за формулою:

. (4)

Значення сил з формул (2), (3) та (4) підставляємо в формулу (1):

. (5)

Заряд кулі знаходимо з формули (5):

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.13. В плоскому горизонтально розташованому конденсаторі заряджена капелька ртуті знаходиться в рівновазі при напруженості електричного поля = 60 кВ/м. Заряд каплі = 0,8 нКл. Знайти її радіус.

3.13.

Дано

= 13,6∙103 кг/м3 = 60 кВ/м = 0,8 нКл

= ?

Рис. 3.13

Розв’язок.

З рис. 3.13 видно, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність модулів сил:

. (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з електричним полем, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного в конденсаторі.

Вагу кулі визначаємо за формулою:

. (3)

Значення сил з формул (2) та (3) підставляємо в формулу (1):

. (4)

Радіус кулі знаходимо з формули (4):

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.14. Дві кульки масою = 1 г кожна, підвішені на нитках, верхні кінці яких з'єднані. Довжина кожної нитки = 10 см. Які однакові заряди треба надати кулькам, щоб нитки розійшлися на кут α = 60°?

3

Рис. 3.8

.14.

Дано

= 10 см = 1 г α = 60°

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.8 випливає, що кулі будуть в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів:

, (4)

де бо трикутник рівносторонній.

Силу , яка протидіє силі Кулона, знаходимо з прямокутного трикутника сил за формулою

. (5)

Сили з рівнянь (4) та (5) підставляємо у формулу (1) і отримуємо вираз для розрахунку заряду куль:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.15. Точкові заряди Q₁ = 20 мкКл, та Q₂ = - 10 мкКл знаходяться на відстані = 5 см один від одного. Визначити напруженість поля в точці, що знаходиться на відстані = 3 см від першого і на відстані = 4 см від другого заряду. Визначити також силу F, що діє в цій точці на точковий заряд Q = 1 мкКл.

3.15.

Рис. 3.15

Дано

Q1 = 20 мкКл Q2 = - 10 мкКл = 5 см = 1 = 3 см = 4 см Q = 1 мкКл

= ? = ?

Розв’язок.

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожний заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженості і полів, що утворюється кожним зарядом окремо: . Напруженості електричного поля, що утворюється в повітрі ( = 1) зарядами і ,

(1)

Вектор (рис. 3.15) спрямований по силовій лінії від заряду , тому що цей заряд позитивний; вектор спрямований також по силовій лінії, але до заряду , тому що цей заряд негативний.

Модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

, (2)

де - кут між векторами і , косинус якого можемо знайти із трикутника зі сторонами і

. (3)

Підставляючи вираз і із (1), косинуса з (3) у (2) і виносячи спільний множник 1/(4л ) за знак кореня, одержуємо

(4)

Силу, що діє в цій точці поля на заряд знаходимо за формулою напруженості поля:

(5)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формули (4) та (5) і отримаємо відповіді:

= =

3.16. Три однакових точкових заряди Q₁ = Q₂ = Q₃ = 2 нКл знаходяться у вершинах рівностороннього трикутника зі сторонами а = 10 см. Визначити модуль сили , що діє на один із зарядів з боку двох інших.

Рис. 3.16

3.16.

Дано

= 10 см = 10 мкКл/м

= ?

Розв’язок.

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожний заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженості і полів, що утворюється кожним зарядом окремо: . Напруженості електричного поля, що утворюється в повітрі ( = 1) зарядами і ,

(1)

Вектор (рис. 3.16) спрямований по силовій лінії від заряду , тому що цей заряд позитивний; вектор спрямований також по силовій лінії, але до заряду , тому що цей заряд негативний.

Модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

, (2)

де - кут між векторами і , косинус якого можемо знайти із трикутника зі сторонами і

. (3)

Підставляючи вираз і із (1), косинуса з (3) у (2) і виносячи спільний множник 1/(4л ) за знак кореня, одержуємо

(4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.17. Два позитивних точкових заряди = Q і = 9Q закріплені на відстані = 100 см один від одного. Визначити на якій відстані Від заряду Q, треба помістити третій заряд так, щоб він знаходився в рівновазі.

3.17.

Дано

= Q = 9Q = 100 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.17

рис. 3.17 випливає, що третя куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії точкових зарядів:

, (4)

З виразу (1) отримуємо рівняння:

, (5)

Розв’язок рівняння (5) дає вираз для розрахунку відстані

=. (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.18. Дві однаково заряджені кульки підвішені на нитках однакової довжини. При цьому нитки розійшлися на деякий кут . Кульки занурюють в олію. Чому дорівнює густина олії, якщо кут на який розійшлися нитки при цьому не змінився? Густина матеріалу кульок ρ₀ = 1,5 10³ кг/м³, діелектрична проникність олії ε = 2,2.

3

Рис. 3.18

.18.

Дано

ρ0 = 1,5 103 кг/м3 ε = 2,2

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.18 випливає, що кулі будуть в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів, але в різній речовині:

, (4)

Силу , яка протидіє силі Кулона, знаходимо з прямокутного трикутника сил за формулою

. (5)

Сили з рівнянь (4) та (5) порівнюємо з урахуванням виразу (1) і знаходимо відношення отриманих рівнянь:

= (6)

Розв’язуємо отримане рівняння (7) відносно густини речовини

= (7)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (7) і отримаємо відповідь:

=

3.19. Чотири однакових заряди ₁ = ₂ = ₃ = ₄ = = 40 нКл закріплені у вершинах квадрата зі стороною = 10 см. Знайти силу F, що діє на один з цих зарядів з боку трьох інших.

Рис. 3.19

3.19.

Дано

1 = 2 = 3 = = 4 = = 40 нКл = 10 см

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.19 випливає, що шукана сила дорівнює векторній сумі сил, які діють, наприклад, на четвертий заряд:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів:

, (4)

Силу , з якою діють перший і третій заряди на четвертий, знаходимо з формулою теореми косинусів

. (5)

Тоді шукана сила дорівнює

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.20. Точкові заряди Q₁ = 30 мкКл і Q₂ = - 20 мкКл знаходяться на відстані d = 20 см один від одного. Визначити напруженість електричного поля Е в точці, що знаходиться на відстані r₁ = 30 см від першого заряду, і на відстані r₂ = 15 см від другого.

3.20.

Рис. 3.20

Дано

Q1 = 30 мкКл Q2 = - 20 мкКл = 20 см = 1 = 30 см = 15 см

= ?

Розв’язок.

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожний заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженості і полів, що утворюється кожним зарядом окремо: . Напруженості електричного поля в точці , що утворюється в повітрі ( = 1) зарядами і ,

(1)

Вектор (рис. 3.15) спрямований по силовій лінії від заряду , тому що цей заряд позитивний; вектор спрямований також по силовій лінії, але до заряду , тому що цей заряд негативний.

Модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

, (2)

де - кут між векторами і , косинус якого можемо знайти із трикутника зі сторонами і

. (3)

Підставляючи вираз і із (1), косинуса з (3) у (2) і виносячи спільний множник 1/(4л ) за знак кореня, одержуємо

(4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповіді:

=

3.21. У вершинах правильного трикутника зі стороною а = 10 см знаходяться заряди = 10 мкКл, = 20 мкКл і = 30 мкКл. Визначити силу F, що діє на заряд Q₁ з боку двох інших зарядів.

3

Рис. 3.21

.21.

Дано

= 10 см = 10 мкКл, = 20 мкКл = 30 мкКл

= ?

Розв’язок.

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожний заряд створює поле незалежно від присутності в просторі інших зарядів. Тому напруженість електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженості і полів, що утворюється другим та третім зарядами окремо: . Напруженості електричного поля, що утворюється в повітрі ( = 1) зарядами і ,

(1)

Вектори і (рис. 3.21) спрямовані по силових лініях від відповідних зарядів, тому що вони позитивні.

Модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

, (2)

де = 60^о - кут між векторами і (трикутник правильний).

Шукану силу знаходимо за формулою:

(3)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (3) і отримаємо відповідь:

=

3.22. У вершинах квадрата знаходяться однакові заряди = = = = = 8 10^-10 Кл. Який негативний заряд потрібно помістити в центрі квадрата, щоб сила взаємного відштовхування позитивних зарядів була урівноважена силою притягання негативного заряду?

3.22.

Дано

q = 8 10-10 Кл

= ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

Рис. 3.22

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для всіх випадків взаємодії зарядів:

, (3)

Згідно рис. 3.5, сили і з системи (3) напрямлені під кутом 90^о друг відносно другого, тому їхній додаток знаходимо за формулою:

. (4)

З рис. 3.5 видно, що повинна виконуватися рівність:

. (5)

Розв’язуємо рівняння (5) відносно шуканого заряду і отримаємо рівняння

q₀ = (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (6) і отримаємо відповідь:

q₀ =

3.23. На відстані = 20 см знаходяться два точкових заряди: = - 50 нКл і = 100 нКл. Визначити силу F, що діє на заряд = - 10 нКл, який знаходиться на однаковій відстані ( = 20 см) від обох зарядів.

3.23.

Дано

= 10 см = - 50 нКл, = 100 нКл = - 10 нКл

= ?

Розв’язок.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

Рис. 3.23

, (1)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (2)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для взаємодії зарядів:

, (3)

Згідно рис. 3.23, сили і з системи (3) напрямлені під кутом 120^о друг відносно другого, тому їхній додаток знаходимо за формулою:

. (4)

Зробимо підстановку в формулу (4) сили з системи рівнянь (3) та заданих в умові задачі величин і отримаємо відповідь:

=

3.24. Відстань між двома точковими зарядами Q₁ = 2 нКл і Q₂ = 4 нКл дорівнює = 60 см. Визначити відстань, від першого заряду, на яку потрібно помістити третій заряд Q₃ так, щоб система зарядів знаходилася в рівновазі.

3.24.

Дано

= 2 нКл = 4 нКл = 60 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.24

рис. 3.17 випливає, що третя куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (2) для нашого випадку взаємодії точкових зарядів:

, (4)

З виразу (1) отримуємо рівняння:

, (5)

Розв’язок рівняння (5) дає вираз для розрахунку відстані

=. (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (6) і отримаємо відповідь:

=

3.25. У плоскому горизонтально розташованому конденсаторі, відстань між пластинами якого = 1 см, знаходиться заряджена капелька масою = 5 10^-11 г. При відсутності електричного поля капелька внаслідок опору повітря падає з деякою постійною швидкістю. Якщо до конденсатора прикладена різниця потенціалів = 600 В, то капелька падає вдвічі повільніше. Знайти заряд капельки.

3.24.

Рис. 3.25

Дано

= 1 см = 5 10-11 г = 600 В

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.25 випливає, що куля буде в рухатись з постійною швидкістю при умові виконання рівності сил, які діють на кулю в процесі її руху:

, (1)

де - сила Архімеда, якою ми нехтуємо; - сила опору руху кулі, яку визначаємо за формулою Стокса:

, бо . (2)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють точковий заряд і електростатичне поле, визначається за формулою

. (3)

З виразу (1) отримуємо рівняння:

, (4)

Розв’язок рівнянь (3) і (4) дає вираз для розрахунку заряду капельки:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (5) і отримаємо відповідь:

=

3

Рис. 3.26

.26. Між двома вертикальними пластинами, що знаходяться на відстані одного сантиметра одна від одної, на нитці висить заряджена кулька масою m = 0,1 г. Після подачі на пластини різниці потенціалів = 1 кВ нитка з кулькою відхилилася на кут = 10°. Знайти заряд кульки.

3.26.

Дано

= 1 см = 0,1 г = 1 кВ = 10°

= ?

Розв’язок.

З рис. 3.26 випливає, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність:

, (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з зарядженою поверхнею, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного поля створеного зарядженими пластинами конденсатора (вважаємо їх нескінченими площинами), яку визначаємо за формулою

. (3)

Кут визначаємо з трикутника сил:

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.27. Мильний пузир з зарядом q = 222 пКл знаходиться в рівновазі в полі плоского горизонтально розташованого конденсатора. Знайти різницю потенціалів між пластинами конденсатора, якщо маса пузиря m = 0,01 г і відстань між пластинами = 5 см.

3.27.

Дано

q = 222 пКл m = 0,01 г = 5 см

= ?

Рис. 3.27

Розв’язок.

З рис. 3.27 видно, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність модулів сил:

. (1)

За законом Кулона сила, з якою взаємодіє точковий заряди з електричним полем, визначається за формулою

, (2)

де — напруженість електричного поля в конденсаторі.

Тоді рівняння (1) записуємо у вигляді

. (3)

Значення різниці потенціалів визначаємо з рівняння (3):

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.28. Кулька радіусом R = 2 см заряджається негативно до потенціалу φ = 2 кВ. Знайти масу ієї кульки.

3.27.

Дано

R = 2 см φ = 2 кВ

= ?

Розв’язок.

Масу усіх електронів, що складають заряд кульки, визначимо за формулою:

З рис. 3.27 видно, що куля буде в рівновазі, якщо буде виконуватись рівність модулів сил:

, (1)

де = 9,1∙10^-31 кг – маса електрона; = 1,6∙10^-19 Кл – його заряд; - кількість елементарних зарядів на кульці, який визначаємо з ємності відокремленого провідника, яка є відношенням заряду до потенціалу провідника:

, (2)

де ємність провідної кулі радіуса дорівнює

. (3)

Загальний заряд усіх електронів на кулі знаходимо з рівняння (3) і підставляємо у вираз (1):

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин (виражених у системі СІ) у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.29. Вісім заряджених водяних крапель радіусом = 1 мм і зарядом q = 1 нКл кожна, зливаються в одну загальну водяну краплю. Знайти потенціал φ цієї новоутвореної краплі.

3.29.

Дано

= 8 = 1 мм q = 1 нКл

= ?

Розв’язок.

Під час злиття краплин в одну сталими залишаються їхні загальні заряд та об’єм:

(1)

де - заряд великої краплі; , , - заряд, ємність і радіус малої краплі; - радіус великої краплі.

Потенціал великої краплі знаходимо за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (2):

=

3.30. Дві кульки радіусом = 1 см і масою = 40 мг підвішені на нитках довжиною 10 см так, що їх поверхні стикаються. Коли кульки зарядили, нитки розійшлися на деякий кут і сила натягнення ниток стала рівною = 490 мкН. Знайти потенціал φ заряджених кульок.

Рис. 3.30

3.30.

Дано

= 1 см = 40 мг = 10 см = 490 мкН

= ?

Розв’язок.

Потенціал кульки знаходимо за формулою

. (1)

Заряд кульок визначаємо з їхньої взаємодії.

За законом Кулона сила, з якою взаємодіють два точкових заряди і , визначається за формулою

, (2)

де r — відстань між зарядами; — відносна діелектрична проникність середовища; = 8,854∙10^-12 Ф/м - електрична стала.

Якщо заряди однойменні, то сила, з якою заряд діє на заряд буде:

, (3)

де — радіус-вектор, проведений від заряду до заряду , - одиничний вектор.

Запишемо формулу (1) для нашого випадку взаємодії однакових зарядів:

, (4)

де , а визначаємо з подібності трикутників.

Згідно рис. 3.30, сили і зрівноважують одна одну тому заряди знаходяться в рівновазі. Останню силу визначаємо з прямокутного трикутника і отримуємо рівняння:

, (5)

Заряд кулі з формули (5) підставляємо у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (5) і отримаємо відповідь:

=

3.31. На деякій відстані від нескінченної рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ = 2 мкКл/м² розміщений круг радіусом = 15 см, який паралельний площині. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь цей круг.

3

Дано

σ = 2 мкКл/м2 = 15 см

= ?

.31.

Розв’язок.

Потік вектора через усю поверхню, площа якої виразиться сумою елементарних потоків, або інтегралом

, (1)

де - кут між нормаллю до поверхні і вектором напруженості поля.

Напруженість електростатичного поля рівномірно зарядженої нескінченної площини визначається за формулою:

= . (2)

Тоді формула (1) матиме вигляд

, (3)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (3) і отримаємо відповідь:

=

3.32. Заряд q = 1 мкКл знаходиться в вершині кругового конуса висота якого = 30 см, радіус основи = 10 см. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь поверхню цього конуса.

3

Дано

q = 1 мкКл = 30 см = 10 см

= ?

Рис. 3.32

.32.

Розв’язок.

Навколо заряду, з центром де він знаходиться, проводимо сферичну поверхню радіусом , який дорівнює твірній бокової поверхні конуса. З рис. 3.32 видно, що потік вектора напруженості поля крізь поверхню конуса дорівнює потоку, який пронизує тільки його основу. Тобто потоку крізь сферичний сегмент радіусом , площа якого дорівнює

. (1)

Площа сферичної поверхні дорівнює

. (2)

Повний потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню дорівнює

, (3)

Тоді шуканий потік знаходимо за формулою

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.33. На осі конуса, що знаходиться у вакуумі, на однакових відстанях від вершини і центра основи розміщений точковий заряд q = 1 мкКл. Висота конуса = 20 см, а радіус основи = 10 см. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь поверхню основи конуса.

3

Дано

q = 1 мкКл = 20 см = 10 см

= ?

Рис. 3.33

.33.

Розв’язок.

Навколо заряду, з центром де він знаходиться, проводимо сферичну поверхню радіусом (див. рис.3.33).

З рис. 3.33 видно, що потік вектора напруженості поля крізь поверхню основи конуса дорівнює потоку, який пронизує сферичний сегмент висотою , площа якого дорівнює

. (1)

Площа сферичної поверхні дорівнює

. (2)

Повний потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню дорівнює (згідно з теоремою Гауса)

, (3)

Тоді шуканий потік знаходимо за формулою

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.34. На осі конуса, що знаходиться у вакуумі, на однакових відстанях від вершини і центра основи розміщений точковий заряд q = 1 мкКл. Висота конуса = 20 см, а радіус основи = 10 см. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню конуса.

3

Дано

q = 1 мкКл = 20 см = 10 см

= ?

Рис. 3.34

.34.

Розв’язок.

Навколо заряду, з центром де він знаходиться, проводимо сферичну поверхню радіусом (див. рис.3.34).

З рис. 3.34 видно, що потік вектора напруженості поля крізь бокову поверхню конуса дорівнює потоку, який не пронизує сферичний сегмент висотою , площа якого дорівнює

. (1)

Площа сферичної поверхні дорівнює

. (2)

Повний потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню дорівнює (згідно з теоремою Гауса)

, (3)

Тоді шуканий потік знаходимо за формулою

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3

Рис. 3.35

.35. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню прямого кругового циліндра висотою = 20 см, з основою радіусом = 10 см. Точковий заряд q = 0,3 мкКл розміщений по осі циліндра на половині його висоти.

3.35.

Дано

q = 0,3 мкКл = 20 см = 10 см

= ?

Розв’язок.

Навколо заряду, з центром де він знаходиться, проводимо сферичну поверхню радіусом (див. рис.3.35).

З рис. 3.35 видно, що потік вектора напруженості поля крізь бокову поверхню циліндра дорівнює потоку, який не пронизує поверхні його основ, тобто поверхні двох сферичних сегментів висотою , площа яких дорівнює

. (1)

Площа сферичної поверхні дорівнює

. (2)

Повний потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню дорівнює (згідно з теоремою Гауса)

, (3)

Тоді шуканий потік знаходимо за формулою

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.36. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню прямого кругового циліндра висотою = 20 см, з основою радіусом = 10 см. Точковий заряд q = 0,3 мкКл розміщений у центрі основи циліндра.

3.36.

Дано

q = 0,3 мкКл = 20 см = 10 см

= ?

Рис. 3.36

Розв’язок.

Навколо заряду, з центром де він знаходиться, проводимо сферичну поверхню радіусом (див. рис.3.36).

З рис. 3.36 видно, що потік вектора напруженості поля крізь бокову поверхню циліндра дорівнює потоку, який не пронизує ліву половину сферичної поверхні та поверхню його основи, тобто поверхню сферичного сегменту висотою , площа якої дорівнює

. (1)

Площа сферичної поверхні дорівнює

. (2)

Повний потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню дорівнює (згідно з теоремою Гауса)

, (3)

Тоді шуканий потік знаходимо за формулою

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові задачі величин у формулу (4) і отримаємо відповідь:

=

3.37. Кільце з дроту радіусом 10 см має негативний заряд q' = - 5 нКл. Знайти напруженість електричного поля на осі кільця в точках, розташованих від центра кільця на відстанях, рівних 0 і 15 см. На якій відстані від центра кільця напруженість електричного поля буде мати максимальне значення?

3.37.

Дано

q = - 5 нКл = 0 = 15 см = 10 см

= ? = ? = ?

Розв’язок.

З'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.36). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, що утворюється цим зарядом, може бути записана у вигляді

(1)

де - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А; - лінійна густина заряду на кільці.

Розкладемо вектор (для спрощення малювання рис. 3.37, заряд вважаємо додатнім) на дві складові: перпендикулярно площині кільця (спів напрямлену з віссю Oz), і , паралельну площині кільця (площини хОу), тобто

(2)

Напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

Рис. 3.37

(3)

де інтегрування ведемо по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів і розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори і у точці А рівні за модулем і протилежні за напрямом:

Тому векторна сума (інтеграл) = 0 Складові для всіх елементів кільця спів напрямлені з віссю Oz (одиничним вектором ), тобто Тоді

Тому що

а і то (4)

Отже,

(5)

1. для = 0 напруженість електричного поля теж буде дорівнювати нулю:

2. для розрахунок напруженості поля виконуємо за формулою (5) і отримаємо відповідь:

=

3. максимальне значення напруженості поля, яке створюється зарядженим кільцем у точках на вісі , визначаємо із співвідношення:

(6)

Оскільки знаменник не дорівнює нулю, то отримуємо

. (7)

Тоді відстань від центра кільця до точки, на його вісі симетрії (по обидві сторони від кільця), де напруженість поля набуває максимального значення розрахуємо за формулою (7):

=

3.38. Напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця має максимальне значення на відстані L від центра кільця. У скільки разів напруженість електричного поля в точці, розташованій на відстані 0,5 L від центра кільця, буде менше максимального значення напруженості?

3.38.

Дано

= L = 0,5 L

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

З

Рис. 3.38

'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.36). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, що утворюється цим зарядом, може бути записана у вигляді

(1)

де - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А; - лінійна густина заряду на кільці.

Розкладемо вектор (для спрощення малювання рис. 3.37, заряд вважаємо додатнім) на дві складові: перпендикулярно площині кільця (спів напрямлену з віссю Oz), і , паралельну площині кільця (площини хОу), тобто

(2)

Напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

(3)

де інтегрування ведемо по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів і розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори і у точці А рівні за модулем і протилежні за напрямом:

Тому векторна сума (інтеграл) = 0 Складові для всіх елементів кільця спів напрямлені з віссю Oz (одиничним вектором ), тобто Тоді

Тому що

а і то (4)

Отже,

(5)

Максимальне значення напруженості поля, яке створюється зарядженим кільцем у точках на вісі , визначаємо із співвідношення:

(6)

Оскільки знаменник не дорівнює нулю, то отримуємо

. (7)

З рівняння (7) визначаємо радіус кільця

. (8)

Шукане відношення визначаємо за допомогою формули (5)

. (9)

Спрощуємо рівняння (9) і визначаємо в скільки разів напруженість електричного поля в точці, розташованій на відстані 0,5 L від центра кільця, буде менше максимального значення напруженості:

=

3.39. Тонкий довгий стержень рівномірно заряджений з лінійною густиною τ = 1,5 нКл/см. На продовженні осі стержня на відстані = 12 см від його кінця знаходиться точковий заряд Q = 0,2 мкКл. Визначити силу взаємодії зарядженого стержня і точкового заряду.

3.39.

Рис. 3.39

Дано

τ = 1,5 нКл/см = 12 см Q = 0,2 мкКл

= ?

Розв'язок.

Сила взаємодії зарядженого стержня з точковим зарядом залежить від лінійної густини заряду на стрижні.

При обчисленні сили варто мати на увазі, що заряд на стрижні не є точковим, тому закон Кулона безпосередньо застосувати не можна. У цьому випадку можна зробити так. Виділимо на стрижні (рис. 3.39) малу ділянку із зарядом . Цей заряд можна розглядати як точковий. Тоді, відповідно до закону Кулона, сила взаємодії точкових зарядів дорівнює:

(1)

Інтегруючи цей вираз у межах від до нескінченності, маємо

. (2)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (2) і отримуємо:

=

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю сили. Для цього в праву частину формули замість символів розмірів підставимо їхні одиниці:

.

3.40. Тонкий стержень довжиною = 20 см несе рівномірно розподілений заряд q = 0,1 мкКл. Визначити напруженість електростатичного поля у точці, що лежить, по осі стержня, на відстані = 20 см від його кінця.

3.40.

Дано

= 20 см q = 0,1 мкКл = 12 см Q = 0,2 мкКл

= ?

Розв'язок.

Рис. 3.40

При обчисленні напруженості електричного поля варто мати на увазі, що заряд на стрижні не є точковим, тому формулу

(1)

безпосередньо застосувати не можна. У цьому випадку зробимо так. Виділимо на стрижні (рис. 3.40) малу ділянку із зарядом ( лінійна густина заряду на стержні). Цей заряд можна розглядати як точковий. Тоді формулу (1), для цього точкового заряду запишемо так

(2)

Інтегруючи цей вираз у межах від до , маємо

. (3)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (3) і отримуємо:

=

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю напруженості. Для цього в праву частину формули замість символів розмірів підставимо їхні одиниці:

.

3.41. По тонкому півкільцю радіуса = 10 см рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 1 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром кільця.

3

Рис. 3.41

.41. Розв'язок.

О

Дано

= 10 см τ = 1 мкКл/м = 90о

= ?

беремо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 3.41). На нитці виділимо елемент довжини . Заряд , що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці де перетинаються вісі координат. Для цього знайдемо спочатку напруженість поля, що створюється зарядом :

(1)

де - радіус-вектор, спрямований від елемента до точки, у якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор через проекції і на осі координат: де та - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням:

(2)

Інтегрування ведемо уздовж дуги довжиною . У силу симетрії . Тоді

, (3)

де Оскільки , то

(4)

Підставимо вираз у (3) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування оберемо від 0 до /2, а результат подвоїмо:

(5)

З цієї формули видно, що напруженість поля за напрямком збігається з віссю Оу. Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3.42. Тонке кільце несе розподілений заряд = 0,2 мкКл. Визначити напруженість електричного поля в точці, що рівновіддалена від усіх точок кільця на відстань = 20 см. Радіус кільця R = 10 см.

3.42.

Дано

= 0,2 мкКл = 20 см R = 10 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.42

робимо малюнок.

З'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.42). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, що утворюється цим зарядом, може бути записана у вигляді

(1)

де - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А; - лінійна густина заряду на кільці.

Розкладемо вектор (для спрощення малювання рис. 3.42, заряд вважаємо додатнім) на дві складові: перпендикулярно площині кільця (спів напрямлену з віссю Oz), і , паралельну площині кільця (площини хОу), тобто

(2)

Напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

(3)

де інтегрування ведемо по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів і розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори і у точці А рівні за модулем і протилежні за напрямом:

Тому векторна сума (інтеграл) = 0 Складові для всіх елементів кільця спів напрямлені з віссю Oz (одиничним вектором ), тобто Тоді

Тому що

а то (4)

Отже,

. (5)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3.43. Третина тонкого кільця радіуса R = 10 см несе розподілений заряд Q = 50 нКл. Визначити напруженість електричного поля в точці О, що збігається з центром цього кільця.

3

Рис. 3.41

.43. Розв'язок.

О

Дано

= 10 см Q = 50 нКл = 60о

= ?

беремо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 3.43). На нитці виділимо елемент довжини . Заряд , що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці де перетинаються вісі координат. Для цього знайдемо спочатку напруженість поля, що створюється зарядом :

(1)

де - радіус-вектор, спрямований від елемента до точки, у якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор через проекції і на осі координат: де та - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням:

(2)

Інтегрування ведемо уздовж дуги довжиною . У силу симетрії . Тоді

, (3)

де Оскільки , то

(4)

Підставимо вираз у (3) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування оберемо від 0 до /2, а результат подвоїмо:

(5)

З цієї формули видно, що напруженість поля за напрямком збігається з віссю Оу. Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3.44. Нескінченний тонкий стержень, обмежений з одного боку, несе рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 0,5 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться по осі стержня на відстані = 20 см від його початку.

3.44. Розв'язок.

П

Дано

τ = 0,5 мкКл/м = 20 см

= ?

ри обчисленні напруженості електричного поля варто мати на увазі, що заряд на стрижні не є точковим, тому формулу

Рис. 3.40

(1)

безпосередньо застосувати не можна. У цьому випадку зробимо так. Виділимо на стрижні (рис. 3.40) малу ділянку із зарядом ( лінійна густина заряду на стержні). Цей заряд можна розглядати як точковий. Тоді формулу (1), для цього точкового заряду запишемо так

(2)

Інтегруючи цей вираз у межах від до , маємо

. (3)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (3) і отримуємо:

=

Перевіримо, чи дає розрахункова формула одиницю напруженості. Для цього в праву частину формули замість символів розмірів підставимо їхні одиниці:

.

3.45. По тонкому кільцю радіусом R = 20 см розмірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 0,2 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на осі кільця на відстані = 2R від його центра.

3.45.

Дано

τ = 0,2 мкКл/м см R = 20 см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

З'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.45). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, що утворюється цим зарядом, може бути записана у вигляді

(1)

д

Рис. 3.45

е - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А.

Розкладемо вектор (для спрощення малювання рис. 3.45, заряд вважаємо додатнім) на дві складові: перпендикулярно площині кільця (спів напрямлену з віссю Oz), і , паралельну площині кільця (площини хОу), тобто

(2)

Напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

(3)

де інтегрування ведемо по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів і розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори і у точці А рівні за модулем і протилежні за напрямом:

Тому векторна сума (інтеграл) = 0 Складові для всіх елементів кільця спів напрямлені з віссю Oz (одиничним вектором ), тобто Тоді

Тому що

а то (4)

Отже,

. (5)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3.46. По тонкому півкільцю рівномірно розподілений заряд Q = 20 мкКл із лінійною густиною τ = 0,1 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці О, що збігається з центром цього кільця.

3

Рис. 3.46

.46. Розв'язок.

О

Дано

= 10 см τ = 1 мкКл/м = 90о

= ?

беремо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 3.46). На нитці виділимо елемент довжини . Заряд , що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці де перетинаються вісі координат. Для цього знайдемо спочатку напруженість поля, що створюється зарядом :

(1)

де - радіус-вектор, спрямований від елемента до точки, у якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор через проекції і на осі координат: де та - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням:

(2)

Інтегрування ведемо уздовж дуги довжиною . У силу симетрії . Тоді

, (3)

де Оскільки , то

(4)

Підставимо вираз у (3) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування оберемо від 0 до /2, а результат подвоїмо:

(5)

Радіус кола визначаємо з виразу лінійної густини:

, (6)

Радіус з цієї формули підставляємо в вираз (5), в отриманий вираз підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ):

=

3.47. Чверть тонкого кільця радіусом 10 см несе рівномірно розподілений заряд Q = 0,05 мкКл. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром цього кільця.

3

Рис. 3.47

.47. Розв'язок.

О

Дано

= 10 см Q = 0,05 мкКл = 45о

= ?

беремо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 3.47). На нитці виділимо елемент довжини . Заряд ( лінійна густина заряду на четверті тонкого кільця), що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці де перетинаються вісі координат. Для цього знайдемо спочатку напруженість поля, що створюється зарядом :

(1)

де - радіус-вектор, спрямований від елемента до точки, у якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор через проекції і на осі координат: де та - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням:

(2)

Інтегрування ведемо уздовж дуги довжиною . У силу симетрії . Тоді

, (3)

де Оскільки , то

(4)

Підставимо вираз у (3) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування оберемо від 0 до /4, а результат подвоїмо:

(5)

З цієї формули видно, що напруженість поля за напрямком збігається з віссю Оу. Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3

Рис. 3.48

.48. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q = 10 нКл із лінійною густиною τ = 0,01 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться по осі стержня на відстані рівній радіусу кільця.

3.48.

Дано

Q = 10 нКл τ = 0,01 мкКл/м см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

З'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.48). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то напруженість електричного поля, що утворюється цим зарядом, може бути записана у вигляді

(1)

де - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А.

Розкладемо вектор (для спрощення малювання рис. 3.48, заряд вважаємо додатнім) на дві складові: перпендикулярно площині кільця (спів напрямлену з віссю Oz), і , паралельну площині кільця (площини хОу), тобто

(2)

Напруженість електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням:

(3)

де інтегрування ведемо по всіх елементах зарядженого кільця. Зауважимо, що для кожної пари зарядів і розташованих симетрично щодо центру кільця, вектори і у точці А рівні за модулем і протилежні за напрямом:

Тому векторна сума (інтеграл) = 0 Складові для всіх елементів кільця спів напрямлені з віссю Oz (одиничним вектором ), тобто Тоді

Тому що

а то (4)

Отже,

. (5)

Радіус кола визначаємо з виразу лінійної густини:

, (6)

Радіус з цієї формули підставляємо в вираз (5), в отриманий вираз підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ):

=

3.49. Дві третини тонкого кільця радіусом R = 10 см несуть рівномірно розподілений з лінійною густиною τ = 0,2 мкКл/м заряд. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром цього кільця.

3

Рис. 3.47

.49. Розв'язок.

О

Дано

= 10 см τ = 0,2 мкКл/м = 120о

= ?

беремо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривизни дуги, а вісь Оу була б симетрично розташована щодо кінців дуги (рис. 3.49). На нитці виділимо елемент довжини . Заряд , що знаходиться на виділеній ділянці, можна вважати точковим.

Визначимо напруженість електричного поля в точці де перетинаються вісі координат. Для цього знайдемо спочатку напруженість поля, що створюється зарядом :

(1)

де - радіус-вектор, спрямований від елемента до точки, у якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор через проекції і на осі координат: де та - одиничні вектори напрямків (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням:

(2)

Інтегрування ведемо уздовж дуги довжиною . У силу симетрії . Тоді

, (3)

де Оскільки , то

(4)

Підставимо вираз у (3) і, взявши до уваги симетричне розташування дуги щодо осі Оу, межі інтегрування оберемо від 0 до /4, а результат подвоїмо:

(5)

Підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ), у вираз (5) і отримуємо:

=

3.50. Кільце радіусом = 10 см заряджене з лінійною густиною заряду τ = 800 нКл/м. Визначити потенціал у точці, що розташована по осі кільця на відстані = 10 см від його центра.

3.50.

Дано

= 10 см τ = 800 нКл/м = 10 см

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.50

робимо малюнок.

З'єднаємо координатну площину хОу з площиною кільця, а вісь Оz - із віссю кільця (рис. 3.50). На кільці виділимо малу ділянку довжиною . Оскільки заряд , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим, то потенціал електричного поля в точці А, що утворюється цим зарядом, може бути записаний у вигляді

(1)

де - радіус-вектор, направлений від елемента до точки А (). Як видно з рис. 3.50 = .

Оскільки потенціал точки поля являє собою скалярну величину, то потенціал, який створює усе кільце, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених всіма малими ділянками кільця, тобто:

. (2)

В отриманий вираз підставляємо величини, які задані в умові задачі (виражені в одиницях системи СІ) і отримаємо відповідь:

=

3.51. Електричне поле утворене нескінченно довгою зарядженою ниткою, лінійна густина заряду якої = 20 пКл/м. Визначити різницю потенціалів U двох точок поля, що відстоять від нитки на відстані r₁ = .8 см і r₂ = 12 см.

3

Рис. 3.51

.51.

Дано

= 20 пКл/м = 8 см = 12 см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому вертикально зображена нескінченно довга заряджена нитка з лінійною густиною заряду τ.

Різницю потенціалів U двох точок поля, що відстоять від нитки на відстані r₁ і r₂,

можна визначити через напруженість в заданих точках за формулою:

.

Напруженість електричного поля утвореного нескінченно довгою зарядженою ниткою визначається за формулою (18.18, в):

,

де = ………..

Якщо виконати інтегрування, отримаємо

.

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ:

=

3.52. Тонка квадратна рамка рівномірно заряджена з лінійною густиною заряду = 200 пКл/м. Визначити потенціал φ поля в точці перетину діагоналей.

3

Рис. 3.52

.52.

Дано

= 200 пКл/м

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображений елемент нижньої сторони рамки, заряд якого можна вважати точковим. Для точкового заряду маємо формулу потенціалу поля, яку і застосуємо:

, (1)

де = 9∙10⁹ м/Ф – коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки, в якій визначається потенціал, до елемента .

З малюнка видно, що

. (2)

Диференціюємо цей вираз

. (3)

А відстань визначаємо з трикутника:

. (4)

Підставляємо вирази (3) і (4) у вираз (1)

. (5)

Інтегруючі вираз (5) в межах від до , отримаємо потенціал, який створює одна сторона квадрата

. (6)

В силу симетрії точки відносно кінців сторони, маємо

. (7)

Так як

. Див. табл.. 27.

Тоді для всіх сторін отримаємо

.

Підставляємо границі інтегрування і числові значення:

=

3.53. На двох концентричних сферах радіусом R і 2R рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂. Обчислити напруженість Е електричного поля в точці, що відлучена від спільного центра сфер на відстань r. Побудувати графік залежності Е(r). Прийняти σ₁ = 4σ, σ₂ = σ, σ = 30 нКл/м², r = 1,5R.

Рис. 3.53

3.53.

Дано

= 30 нКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені дві концентричні сфери радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другої сфери

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другої сфери

. (5)

6

Рис. 3.53, а

. Для

. (6)

Будуємо графік залежності Е(r), використовуючи отримані вирази:

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.54. Дивись умову попередньої задачі. Прийняти σ₁ = σ, σ₂ = - σ, σ = 0,1 мкКл/м², r = 3R.

Рис. 3.54

3.54.

Дано

= 0,1 мкКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені дві концентричні сфери радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂, та точка А, в якій визначатимемо напруженість електричного поля.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другої сфери

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другої сфери

. (5)

6

Рис. 3.53, а

. Для

. (6)

Будуємо графік залежності Е(r), використовуючи отримані вирази:

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.55. Чотири однакових краплі ртуті, заряджені до потенціалу = 10 В, зливаються в одну. Знайти потенціал краплі, що утворилася?

3.55.

Дано

= 4 = 10 В

= ?

Розв’язок.

Під час злиття краплин в одну сталими залишаються їхні загальні заряд та об’єм:

(1)

де - заряд великої краплі; , , - заряд, ємність і радіус малої краплі; - радіус великої краплі.

Потенціал великої краплі знаходимо за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих величин: =

3.56. Дві паралельні заряджені площини, поверхнева густина заряду яких становить σ₁ = 2 мкКл/м² і σ₂ = - 0,8 мкКл/м², знаходяться на відстані = 0,6 см одна від одної. Визначити різницю потенціалів U між площинами.

3.56.

Дано

σ1 = 2 мкКл/м2 σ2 = - 0,8 мкКл/м2 = 0,6 см

= ?

Розв’язок.

Електростатичне поле між двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами:

. (1)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість

, (2)

де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

З формул (1) і (2) отримаємо:

Зробимо підстановку заданих величин:

=

3.57. На двох нескінченних паралельних площинах рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂ . Потрібно обчислити напруженість Е поля в точках розташованих ліворуч та праворуч від площин. Прийняти σ₁ = 2σ, σ₂ = - σ, σ = 20 нКл/м².

3.57.

Рис. 3.57

Дано

σ1 = 2σ σ2 = - σ σ = 20 нКл/м2

= ?, = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Електростатичне поле поза двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами дорівнює:

. (1)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ:

= =

воруч від площин. Прийняти σ₁ = 2σ, σ₂ = - σ, σ = 20 нКл/м².

3.58. Заряд рівномірно розподілений по нескінченній площині з поверхневою густиною = 10нКл/м². Визначити різницю потенціалів двох точок поля, одна з яких знаходиться на площині, а інша вилучена від її на відстань а = 10 см.

3.58.

Дано

= 10 нКл/м2 а = 10 см

= ?,

Рис. 3.58

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (1)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

, (2)

де - відстань від точки поля до площини.

Електростатичне поле рівномірно зарядженої нескінченної площини дорівнює:

. (3)

Підставимо (3) у (2) і виконаємо інтегрування

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ:

=

3.59. На двох коаксіальних нескінченних циліндрах радіусами R і 2R рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂. Обчислити напруженість Е поля в точці, що відстоїть від спіль­ної осі циліндрів на відстані r. Побудувати графік залежності Е(r). Прийняти σ₁ = - 2σ, σ₂ = σ, σ = 50 нКл/м², r = 1,5R.

Рис. 3.59

3.59.

Дано

σ1 = - 2σ = 50 нКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені два коаксіальних нескінченних циліндра радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля, тоді її записують так:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3

Рис. 3.59, а

. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другого циліндра

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другого циліндра

. (5)

6. Для отримаємо такий же результат.

Будуємо графік залежності Е(r) (див. рис. 3.59, а), використовуючи отримані вирази (1) - (5).

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.60. Дивись умову попередньої задачі. Прийняти σ₁ = σ, σ₂ = - σ, σ = 60 нКл/м², r = 3R .

3.60.

Дано

σ1 = σ = 60 нКл/м2

= ?

Рис. 3.60

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені два коаксіальних нескінченних циліндра радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля, тоді для даного випадку її записують так:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другого циліндра

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другого циліндра

. (5)

4

Рис. 2

. Для

. (6)

Будуємо графік залежності Е(r) (див. рис. 2), використовуючи отримані вирази (1) - (5).

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.61. Яку різницю потенціалів U повинен пройти електрон, щоб одержати швидкість = 8 Мм/с?

3.61.

Дано

= 8 Мм/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле перемішуючі електричний заряд виконує роботу:

, (1)

де - заряд електрона, який дорівнює ………

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії цього заряду:

, (2)

де - маса електрона, яка дорівнює ……..

Вважаючи початкову швидкість електрона рівною нулю, порівняємо рівняння (1) та (2) і отримаємо розрахункову формулу:

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.62. Кулька масою = 40 мг, яка має позитивний заряд q = 1 нКл, рухається з швидкістю = 10 см/с. На яку відстань може наблизитися кулька до позитивного точкового заряду q₀ = 1,33 нКл?

3.62.

Дано

= 40 мг q = 1 нКл = 10 см/с q0 = 1,33 нКл

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що позитивний точковий заряд q₀ створює електричне поле, в якому рухається кулька втрачаючи свою кінетичну енергію, тобто електричне поле, гальмуючі кульку, виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом кульки, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії цього заряду:

, (3)

вважаючи кінцеву швидкість кульки рівною нулю( = 0), порівняємо рівняння (1) та (3) і отримаємо розрахункову формулу:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.63. До якої відстані можуть зблизитися два електрони, якщо вони рухаються назустріч один одному з відносною швидкістю = 10⁶ м/с?

3.63.

Дано

= 9,1∙10-31 кг q = 1,6-10-19 Кл = 106 м/с

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що один електрон створює електричне поле, в якому рухається другий з початковою швидкістю втрачаючи свою кінетичну енергію, тобто електричне поле, гальмуючі електрон, виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом першого електрон, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії електрона:

, (3)

вважаючи кінцеву швидкість електрона рівною нулю( = 0), порівняємо рівняння (1) та (3) і отримаємо розрахункову формулу:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.64. Дві кульки з зарядами q₁ = 6,66 нКл і q₂ = 13,33 нКл знаходяться на відстані d = 40 см. Яку роботу А треба виконати, щоб зблизити їх до відстані D = 25 см?

3.64.

Дано

q1 = 6,66 нКл q2 = 13,33 нКл q = 1,6-10-19 Кл d = 40 см D = 25 см

А = ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що одна кулька створює електричне поле, в якому рухатиметься друга, тоді виконана робота дорівнює:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом першої кульки, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Тоді робота дорівнює:

, (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.65. Яка робота здійснюється при перенесенні точкового заряду q = 20 нКл з нескінченності в точку, що знаходиться на відстані 1 см від поверхні кулі радіусом R = 1 см з поверхневою густиною за­ряду σ = 10 мкКл/м²?

3.65.

Дано

q = 20 нКл d = 1 см = 1 см σ = 10 мкКл/м2

А = ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.65

робимо малюнок:

Потенціал у даній точці електричного поля

. (1)

де - робота по переміщенню пробного заряду із нескінченності у дану точку полю; - заряд, який переміщають.

З формули (1) робота, яка здійснюється при перенесенні точкового заряду q, дорівнює:

. (2)

Потенціал кулі в точці А знаходимо по формулі для точкового заряду:

, (3)

де - заряд кулі, - відстань від центра кулі, куди ми умовно поміщаємо її заряд, до т. А.

Тоді робота дорівнює:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

А =

3.66. Кулька масою 1 г і зарядом 10 нКл переміщується з точки і, потенціал якої φ₁ = 600 В, в точку 2, потенціал якої φ₂ = 0. Знайти швидкість кульки в точці 1, якщо в точці 2 вона стала рівною ₂ = 20 см/с.

3.66.

Дано

= 1 г q = 10 нКл φ1 = 600 В φ2 = 0 2 = 20 см/с

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що куля рухається з початковою швидкістю , при цьому збільшує свою кінетичну енергію, тобто електричне поле виконує роботу:

, (1)

де - різниця потенціалів

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії кулі:

, (2)

З рівнянь (1) та (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.67. На відстані d₁ = 4 см від нескінченно довгої, зарядженої нитки знаходиться точковий заряд q = 0,66 нКл. Під дією електричного поля заряд наближається до нитки на відстань d₂ = 2 см. При цьому здійснюється робота А = 5 10^-6 Дж. Знайти лінійну густину заряду на нитці.

3.67.

Дано

d1 = 4 см q = 0,66 нКл d2 = 2 см А = 5 10-6 Дж

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

З рівняння (5) отримаємо формулу для розрахунку лінійної густини заряду на нитці:

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.68. Електричне поле утворене позитивно зарядженою нескін­ченно довгою ниткою. Рухаючись під дією цього поля від точки, що знаходиться на відстані L₁ = 1 см від нитки, до точки L₂ = 4 см, α - частинка змінила свою швидкість від ₁ = 2 10⁵ м/с до швидкості ₂ = 3 10⁶ м/с. Знайти лінійну густина заряду на нитці.

3.68.

Дано

L1 = 1 см L2 = 4 см q = 3,2∙10-19 Кл 1 = 2 105 м/с 2 = 3 106 м/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії кулі:

, (6)

де - маса -частинки.

З рівнянь (5) та (6) отримаємо

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (7):

=

3.69. Електричне поле утворене позитивно зарядженою нескінченно довгою ниткою з лінійною густиною заряду τ = 0,2 мкКл/м. Яку швидкість отримає електрон під дією поля, наблизившись до нитки з відстані L₁ = 1 см до відстані L₂ = 0,5 см?

3.69.

Дано

τ = 0,2 мкКл/м L1 = 1 см L2 = 0,5 см q = - 1,6∙10-19 Кл 1 = 0

2 = ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору, дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, де - маса електрона. (6)

З рівнянь (5) та (6) отримаємо

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (7):

₂ =

3.70. Біля зарядженої нескінченної площини знаходиться точковий заряд q = 0,66 нКл. Заряд переміщається по лінії напруженості поля на відстань d = 2 см; при цьому здійснюється робота 5 10^-6 Дж. Знайти поверхневу густина заряду σ на площині.

3.70.

Дано

q = 0,66 нКл d = 2 см А = 5 10-6 Дж

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нескінченна площина в точці простору, дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

З рівнянь (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.71. Відстань між пластинами плоского конденсатора 4 см. Електрон починає рухатися від негативної пластини в той момент, коли від позитивної пластини Починає рухатися протон. На якій відстані від позитивної пластини вони зустрінуться?

3

Рис. 3.71

.71.

Дано

d = 4 см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Вважаючи поле в конденсаторі однорідним, запишемо шлях, який пройдуть частинки до зустрічі, рухаючись з постійним прискоренням без початкової швидкості:

(1)

З відношення рівнянь цієї системи отримаємо

, (2)

де = 1,6∙10^-19 Кл – заряд електрона; = 9,1∙10^-31 кг - маса електрона; = 1,67∙10^-27 кг – маса протона.

Розв’язуємо останнє рівняння відносно :

= (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.72. Відстань між пластинами плоского конденсатора 1 см. Від однієї з пластин одночасно починають рухатися протон і α-частинка. Яку відстань пройде α-частинка за той час, протягом якого протон пройде весь шлях від однієї пластини до іншої?

3.72.

Дано

d = 1 см = = = =

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Вважаючи поле в конденсаторі однорідним, запишемо шлях, який пройдуть частинки до зустрічі, рухаючись з постійним прискоренням без початкової швидкості:

(1)

З відношення рівнянь цієї системи отримаємо

. (2)

Розв’язуємо останнє рівняння відносно :

= (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.73. Електрон, пройшовши в плоскому конденсаторі шлях від однієї пластини до іншої, набув швидкість = 108 м/с. Відстань між пластинами d = 5,3 мм. Знайти різницю потенціалів між пластинами і поверхневу густину заряду на пластинах.

3

Дано

d = 5,3 мм = = = 108 м/с

= ? = ?

.73.

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, де - маса електрона, а = 0 (2)

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Напруженість поля в конденсаторі визначається формулою:

. (4)

З (4) визначаємо поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3) і (5):

= =

3.74. Електричне поле утворене двома паралельними пластинами, що знаходяться на відстані 2 см одна від одної. До пластин прикладена різниця потенціалів U щ 120 В. Яку швидкість отримає електрон під дією поля, пройшовши по лінії напруженості відстань h = 3 мм?

3.74.

Дано

d = 2 см U = 120 В = = h = 3 мм

= ?

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

де напруженість поля в конденсаторі пов’язана з різницею потенціалів на його пластинах рівнянням:

. (2)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (3)

де - маса електрона, а = 0.

З рівнянь (1), (2) і (3) отримаємо

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.75. Електрон влітає в плоский горизонтально розташований конденсатор паралельно пластинам зі швидкістю ₀ = 9 10⁶ м/с. Різниця потенціалів між пластинами 100 В; відстань між пластинами 1 см. Знайти повне а, нормальне а_n, і тангенціальне a_τ прискорення електрона через 10 нc після початку його руху в конденсаторі.

Рис.

3.75.

Дано

0 = 9 106 м/с d = 1 см U = 100 В = = = 10 нс

= ? = ? = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Повне прискорення електрона визначаємо з формули закону Ньютона:

. (1)

Вертикальну складову швидкості електрона знаходимо з формули:

. (2)

Повна швидкість електрона дорівнює

. (3)

Тоді тангенціальне прискорення знаходимо за формулою:

. (4)

Тоді нормальне прискорення знаходимо за формулою:

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (1), (4) і (5): =

= =

3.76. Електрон влітає в плоский горизонтально розташований конденсатор паралельно його пластинам з швидкістю ₀ = 10⁶ м/с. Напруженість поля в конденсаторі Е = 10 кВ/м; довжина конденса­тора 5 см. Знайти модуль швидкості електрона при вильоті його з конденсатора.

3.76.

Дано

0 = 9 106 м/с Е = 10 кВ/м = 5 см = =

= ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

Вертикальну складову швидкості електрона знаходимо з формули:

. (1)

Повна швидкість електрона дорівнює

. (2)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (2):

=

3.77. Електричне поле створене зарядженою провідною кулею, потенціал φ якої 300 В. Визначити роботу, яку треба виконати для переміщення заряду Q = 0,2 мкКл з точки 1 в точку 2 (див. рис. 3.77 ).

3.77.

Дано

φ = 300 В Q = 0,2 мкКл

А = ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.77

робимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по переміщенні заряду:

, (1)

Різницю потенціалів поля, яке створюється кулею, визначаємо за формулою:

, (2)

де = 2 , а = 4 ; - заряд кулі.

Тоді робота дорівнює

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.78. Диполь з електричним моментом р = 100 пКл∙м вільно встановився у електричному полі напруженістю Е = 200 кв/м. Визначити роботу зовнішніх сил, яку необхідно виконати для повороту диполя на кут α = 180°.

3.78.

Дано

р = 100 пКл∙м Е = 200 кв/м α = 180°

А = ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.78

робимо малюнок:

Елементарна робота під час повороту диполя на кут виражається формулою

, (1)

де - механічний момент пари сил Кулона.

Повна робота при повороті від 0 до кута

. (2)

Виконавши інтегрування, отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.79. Порошина масою m = 200 мкг, що несе на собі заряд Q = 40 нКл, залетіла в електричне поле в напрямку силових ліній. Після проходження різниці потенціалів у 200 В порошина мала швидкість 10 м/с. Визначити швидкість порошини до того, як вона влетіла в поле.

3.79.

Дано

m = 200 мкг Q = 40 нКл = 200 В 2 = 10 м/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенню порошини:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

. (2)

Початкову швидкість порошини визначаємо з рівнянь (1) і (2):

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3

Рис. 3.80

.80. Електричне поле створене зарядами Q₁ = 2 мкКл і Q₂ = - 2 мкКл, що знаходяться на відстані 10 см один від одного. Визначити роботу сил поля виконану при переміщенні заряду Q = 0,5 мкКл з точки 1 в точку 2 (див. рис. 3.80).

3. 80.

Дано

Q1 = 2 мкКл Q2 = - 2 мкКл = 10 см Q = 0,5 мкКл

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, які визначаємо за формулами:

. (2)

Вирази (2) підставляємо в(1)

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (1) і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз: =

3.81. Електрон, що мав кінетичну енергію Т = 10 еВ, залетів в однорідне електричне поле в напрямку силових ліній. Яку швидкість буде мати електрон, пройшовши в цьому полі різницю потенціалів U = 8 В?

3

Дано

Т = 10 еВ U = 8 В = =

= ?

.81.

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона; - заряд електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.82. Електрон, пройшовши в плоскому конденсаторі шлях від однієї пластини до іншої, придбав швидкість = 105 м/с. Відстань між пластинами d = 8 мм. Знайти різницю потенціалів U між пластинами та поверхневу густину заряду σ на пластинах.

3.82.

Дано

= 105 м/с d = 8 мм U = 120 В = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона, а = 0.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Напруженість поля в конденсаторі пов’язана з різницею потенціалів на його пластинах рівнянням:

. (4)

З теореми Гауса випливає, що напруженість поля між двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами:

. (5)

З рівнянь (4) і (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3) і (6):

= =

3.83. Порошина масою 5 нг, що несе на собі 10 електронів, пройшла у вакуумі різницю потенціалів у 1 MB. Знайти кінетичну енергію порошини? Яку швидкість набула порошина?

3.83.

Дано

m = 5 нг = 10 = 1 MB = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенню порошини:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

. (2)

З рівнянь (1) і (2) отримаємо зміну кінетичної енергії порошини:

, (3)

а також швидкість V, яку набула порошина

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в вирази (3) і (4):

= =

3.84. Яку мінімальну швидкість повинен мати протон, щоб він міг досягти поверхні зарядженої до потенціалу φ = 400 В металевої кулі (див. рис. 3.84)?

3.84.

Дано

m = 5 нг = 10 φ1 = 400 В = =

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.84

робимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по гальмуванню протона:

, (1)

де різниця потенціалів дорівнює

. (2)

Потенціал точки поля , створеного металевою кулею дорівнює

, (3)

де - заряд кулі, який дорівнює

. (4)

Підставляємо вираз (4) у (3)

,

а отримане значення формулу (2):

. (5)

Робота, що визначається формулою (1), йде на зменшення кінетичної енергії протона до нуля:

. (6)

З рівнянь (1) і (6) отримаємо мінімальну швидкість, яку повинен мати протон, щоб він міг досягти поверхні зарядженої кулі:

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в вираз (7):

=

3.85. В однорідне електричне поле напруженістю Е = 200 В/м влітає (уздовж силової лінії) електрон зі швидкістю ₀ = 2 Мм/с. Визначити відстань, яку він подолає до того, як його швидкість зменшиться вдвічі.

3.85.

Дано

Е = 200 В/м V0 = 2 Мм/с = =

= ?,

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по гальмуванню електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.86. Електрон рухається уздовж силової лінії однорідного еле­ктричного поля. У деякій точці поля з потенціалом φ₁ = 100 В електрон мав швидкість ₁ = 6 Мм/с. Визначити потенціал φ₂ точки поля, дійшовши до який електрон втратить половину своєї швидкості.

3.86.

Дано

φ1 = 100 В 1 = 6 Мм/с = =

= ?,

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по гальмуванню електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.87. Два заряди Q₁ = 6 нКл і Q₂ = 3 нКл знаходяться на відстані 60 см один від одного. Яку роботу необхідно виконати, щоб зменшити відстань між зарядами вдвічі?

3

Рис. 3.87

. 87.

Дано

Q1 = 6 нКл Q2 = 3 нКл Q2 = - 2 мкКл = 60 см = 0,5

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що перший заряд створює електричне поле, в якому рухається другий заряд, тобто електричне поле виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного першим зарядом, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Підставимо вираз (2) у формулу (1) і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз:

=

3.88. Електричне поле створене нескінченною зарядженою ниткою з рівномірно розподіленим зарядом (τ = 10 нКл/м). Визначити кінетичну енергію Т₂ електрона в точці 2, якщо в точці 1 його кінетична енергія становила Т₁ = 200 еВ (див. рис.3.88).

3.88.

Розв’язок.

Дано

τ = 10 нКл/м Т1 = 200 еВ =

= ?,

Зробимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по переміщенню електрона:

. (1)

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (2)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Теорему Гауса можна застосувати і до вектора напруженості електричного поля, тоді ЇЇ для нескінченно довгої зарядженої нитки записують так:

. (4)

З виразу (4) отримаємо

. (5)

Підставляємо вираз (5) у вираз (3) і інтегрування:

. (6)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (7)

З рівнянь (1), (6) і (7) отримаємо

. (8)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (8):

=

3.89. Електрон з початковою швидкістю = З Мм/с влетів в однорідне електричне поле напруженістю Е = 150 В/м. Вектор початкової швидкості перпендикулярний лініям напруженості електричного поля. Визначити прискорення, що набуває електрон та його швидкість через 0,1 мкс.

3.89.

Дано

V0 = 3 Мм/с Е = 150 В/м = 0,1 мкс = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Завдяки силі Кулона, яка перпендикулярна до швидкості електрона, він рухатиметься по колу з постійною швидкістю і нормальним прискоренням, яке можна визначити із другого закону Ньютона:

, (1)

звідки

. (2)

Швидкість знаходимо згідно з формулою:

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (2) і (3):

= =

3.90. Різниця потенціалів між пластинами плоского конденсато­ра U = 90 В. Площа кожної пластини 60 см², її заряд 1 нКл. На якій відстані одна від одної знаходяться пластини?

3.90.

Дано

U = 90 В = 60 см2 = 1 нКл

= ?,

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора дорівнює

. (1)

З визначення ємності маємо

. (2)

Для одержання відповіді, прирівняємо праві частини рівнянь (1) і (2), визначимо з цього виразу відстань між пластинами конденсатора і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз:

=

3.91. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м², відстань між ними d = 5 мм. До пластин прикладена різниця потенціалів U₀ = 300 В. Після відключення конденсатора від джерела напруги простір між пластинами заповнюється ебонітом. Яка різни­ця потенціалів при цьому встановиться між пластинами?

3.91.

Дано

S = 0,01 м2 d = 5 мм U0 = 300 В

U = ?,

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора повітряного і з заповненням ебонітом дорівнює

. (1)

З (1) визначаємо різницю потенціалів, яка при цьому встановиться між пластинами

. (2)

Робимо розрахунок: U =

3.92. Коаксіальний електричний кабель складається з центральної жили і концентричної циліндричної оболонки, між якими знаходиться діелектрик ε = 3,2. Знайти ємність С одиниці довжини такого кабелю, якщо радіус жили r = 1 см, а радіус оболонки R = 3,0 см.

3.92.

Дано

ε = 3,2 r = 1 см R = 3,0 см.

С1 = ?,

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного нескінченно довгого прямого рівномірно зарядженого циліндра:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С₁ одиниці довжини такого кабелю:

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (5):

С₁ =

3.93. Знайти ємність сферичного конденсатора, що складається з двох концентричних сфер радіусами r = 10 см і R = 10,5 см. Простір між сферами заповнений маслом. Який радіус R₀, повинна мати куля, занурена в масло, щоб мати таку ж ємність?

3.93.

Дано

r = 10 см R = 10,5 см ε =

С1 = ?, R0 = ?

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного зарядженою сферою:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С₁:

. (5)

Куля, занурена в масло, матиме таку ємність

. (6)

З виразів (5) і (6) визначаємо радіус кулі

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (5) і (7):

С₁ = R₀ =

3.94. Радіус внутрішньої кулі повітряного сферичного конденсатора 1 см, радіус зовнішньої кулі 4 см. Між кулями прикладена різниця потенціалів U = 3 кВ. Знайти напруженість електричного поля на відстані L = 3 см від центра меншої кулі.

3.94.

Дано

r = 1 см R = 4 см ε = 1 U = 3 кВ L = 3 см

Е = ?

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного зарядженою сферою:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С:

. (5)

З формул (1) і (5) визначаємо заряд конденсатора

. (6)

Тоді з формул (3) і (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

Е =

3.95. Радіус внутрішньої кулі вакуумного сферичного конденсатора 1 см, радіус зовнішньої кулі 4 см. Між кулями прикладена різниця потенціалів U = 3 кВ. Яку швидкість отримає електрон, на­близившись до центра куль з відстані 3 см до відстані 2 см?

3.95.

Дано

r = 1 см R = 4 см ε = 1 U = 3 кВ L1 = 3 см L2 = 2 см = =

= ?

Розв’язок.

Неоднорідне електричне поле виконує роботу по переміщенню електрона:

. (1)

Яка піде на зміну кінетичної енергії електрона ( = 0 згідно з умовою задачі):

. (2)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Модуль напруженості поля, створеного зарядом сфери:

. (4)

Вираз (4) підставляємо в (3) і виконуємо інтегрування:

. (5)

Ємність конденсатора дорівнює

. (6)

З (5) і (6) визначаємо ємність конденсатора:

. (7)

З формул (6) і (7) визначаємо заряд конденсатора

. (8)

Тоді з формул (5) і (8) визначаємо різницю потенціалів кінцевих точок руху електрона:

. (9)

А з формул (1), (2) і (9) визначаємо швидкість електрона:

. (10)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (10):

=

3.96. Різниця потенціалів на батареї з двох послідовно з'єднаних конденсаторів складає U = 6 В. Ємність першого конденсатора C₁ = 2 мкФ, другого - С2 = 4 мкФ. Знайти заряд і різницю потенціалу на обкладках другого конденсатора.

3.96.

Дано

U = 6 В C1 = 2 мкФ С2 = 4 мкФ

= ?, = ?

Розв’язок.

З

Рис.3.96

робимо малюнок:

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на пластинах однаковий, а ємність дорівнює

. (1)

Ємність конденсатора дорівнює

. (2)

Тоді заряд на пластинах конденсаторів дорівнює

. (3)

З формули (2) визначаємо різницю потенціалу на обкладках другого конденсатора:

. (4)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отримані вирази (3) і (4):

= =

3.97. Заряджена куля радіусом 2 см приводиться в зіткнення з незарядженою кулею, радіусом 3 см. Після того як кулі роз'єднали, енергія другої кулі виявилася рівною W = 10 Дж. Який заряд був на першій кулі до її зіткнення з другою кулею?

3.97.

Дано

= 2 см = 3 см W2 = 10 Дж

= ?

Розв’язок.

Заряд, який був на першій кулі до її зіткнення з другою кулею дорівнює заряду обох куль після зіткнення:

. (1)

Заряд другої кульки визначимо з формули енергії:

. (2)

Тобто з (2) маємо

. (3)

Враховуючі, що потенціали обох куль після зіткнення будуть однаковими, то знайдемо відношення їхніх енергій:

. (4)

З останнього рівняння визначаємо енергію першої кулі після зіткнення:

. (5)

Користуючись формулою енергії зарядженої кулі (2) і виразом (5), визначимо заряд першої куль після зіткнення:

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку (3) і (6) у вираз (1) та підставимо задані в задачі величини у системі СІ в отриманий вираз:

=

3.98. Пластини плоского конденсатора площею S = 0,01 м² кожна, притягуються одна до одної з силою F = 30 мН. Простір між пластинами заповнений слюдою. Знайти заряди, що знаходяться на пластинах, напруженість Е поля між пластинами і об'ємну густину енергії всередині конденсатора.

3.98.

Дано

S = 0,01 м2 F = 30 мН ε = 6

= ?, Е = ?, = ?

Розв’язок.

Робота при незначному зміщенні пластин конденсатора дорівнює

. (1)

Звідкіля отримаємо вираз для сили взаємодії пластин конденсатора:

. (2)

З (2) можна визначити заряд, що знаходяться на пластинах:

. (3)

Напруженість Е поля між пластинами визначаємо за формулою, користуючись виразом (3):

. (4)

Об'ємну густину енергії всередині конденсатора визначаємо за відомою формулою, та користуючись виразом (3):

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3), (4) і (5):

= Е = =

3.99. Між пластинами плоского конденсатора вкладена тонка слюдяна пластинка. Який тиск р діє на цю пластинку при напруженості електричного поля Е = 1 МВ/м?

3.99.

Дано

Е = 1 МВ/м

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображена тонка слюдяна пластинка, яка розміщена між пластинами зарядженого плоского конденсатора. Вважаємо, що пластини нескінченно великі і одна з них створює електричне поле напруженістю

, (1)

де - поверхнева густина заряду на пластині; = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Друга пластина знаходиться в цьому полі і на неї діє сила

. (2)

Як відомо, тиск, створений силою, дорівнює:

. (3)

В вираз (3) підставляємо силу з виразу (2) і отримаємо розрахункову формулу:

= (4)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.100. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м², відстань між ними d =5 мм. Яка різниця потенціалів була прикладена до пластин конденсатора, якщо відомо, що при розряді конденсатора виділилося = 4,19 мДж теплоти?

3.100.

Дано

S = 0,01 м2 d =5 мм = 4,19 мДж

= ?

Розв’язок.

Вважаємо, що в тепло перетворюється вся енергія зарядженого конденсатора, тобто

, (1)

де ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

З виразів (1) і (2) отримаємо розрахункову формулу:

= (3)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.101. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м², відстань між ними = 2 см. До пластин конденсатора прикладена різниця потенціалів = 3 кВ. Яка буде напруженість поля конденсатора, якщо, не відключаючи його від джерела напруги, розсунути пластини до відстані = 5 см? Знайти енергію конденсатора після розсунення пластин.

3.101.

Дано

S = 0,01 м2 d1 =2 см = = 3 кВ = 5 см

= ? = ?

Розв’язок.

Якщо конденсатор не відключаючи від джерела напруги то можна стверджувати, що

, (1)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника дорівнює

. (2)

Для плоского конденсатора

, (3)

де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Тоді після розсунення пластин конденсатора будемо мати

, (3)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (1) і (3) та отримаємо відповіді:

= =

3.102. Розв'язати попередню задачу при умові, що спочатку конденсатор відключається від джерела напруги, а потім розсовуються пластини конденсатора.

3.102.

Дано

S = 0,01 м2 d1 =2 см = 3 кВ = 5 см

= ? = ?

Розв’язок.

Якщо конденсатор відключити від джерела напруги то можна стверджувати, що

. (1)

Ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

де = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Підставляємо ємності конденсаторів з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо

. (3)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника дорівнює

. (4)

Для плоского конденсатора

, (5)

де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Тоді після розсунення пластин конденсатора будемо мати

, (6)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) і (6) та отримаємо відповіді:

= =

3.103. Плоский конденсатор заповнений діелектриком і на його пластини подана деяка різниця потенціалів. Його енергія при цьому складає = 20 мкДж. Після того, як конденсатор відключили від джерела живлення, діелектрик вийняли з конденсатора. Робота, яку треба було здійснити, щоб вийняти діелектрик склала = 70 мкДж. Знайти діелектричну проникність ε діелектрика.

3.103.

Дано

= 20 мкДж = 70 мкДж

= ?

Розв’язок.

Робота, яку треба здійснити, щоб вийняти діелектрик з конденсатора, дорівнює зміні його енергії:

. (1)

Ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

де = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Для плоского конденсатора енергія електричного поля дорівнює

. (3)

Тоді для двох конденсаторів, з урахуванням виразу (2), будемо мати

, (4)

де - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Підставляємо енергію з виразів (4) у формулу (1) і отримаємо:

. (5)

Звідки можна получити вираз для розрахунку діелектричної проникності ε діелектрика:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.104. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений діелектриком, діелектрична сприйнятливість якого χ = 0,08. Відстань між пластинами = 5 мм. На пластини конденсатора подана різниця потенціалів = 4 кВ. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на діелектрику.

3.104.

Дано

χ = 0,08 = 5 мм = 4 кВ

= ?

Розв’язок.

Д

Рис. 3.104

іелектрична сприйнятливість речовини зв’язана з діелектричною проникністю рівнянням

. (1)

Позначимо через , - поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора в відсутності діелектрика, в присутності діелектрика; - поверхневу густину зв’язаних (поляризованих) зарядів.

Спільна дія зарядів густиною і така, якби на межі провідник – діелектрик існує заряд, розподілений з густиною

. (2)

Таким чином, - поверхнева густина «ефективних» зарядів, які визначають сумарне, результуюче поле в діелектрику.

Як відомо, поверхнева густина заряду пов’язана з відповідними полями такими співвідношеннями:

• поле в відсутності діелектрика

; (3)

• результуюче поле в діелектрику

. (4)

З виразів (2) та (4) отримуємо

. (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (5) та отримаємо відповідь:

=

3.105. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений склом. Площа пластин конденсатора S = 0,01 м². Пластини конденсатора притягуються одна до одної з силою F = 4,9 мН. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на склі.

Рис. 3.105

3.105.

Дано

= 6 S = 0,01 м2 F = 4,9 мН

= ?

Розв’язок.

Сила притягання пластин плоского конденсатора: а) конденсатор від’єднали від джерела струму; б) приєднаний до джерела струму;

а) . (1)

б) . (2)

Вважаємо, що маємо справу з першим випадком, тобто конденсатор від’єднали від джерела струму. Тоді маємо

. (3)

Позначимо через , - поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора в відсутності діелектрика, в присутності діелектрика; - поверхневу густину зв’язаних (поляризованих) зарядів.

Спільна дія зарядів густиною і така, якби на межі провідник – діелектрик існує заряд, розподілений з густиною

. (4)

Таким чином, - поверхнева густина «ефективних» зарядів, які визначають сумарне, результуюче поле в діелектрику.

Як відомо, поверхнева густина заряду пов’язана з відповідними полями такими співвідношеннями:

• поле в відсутності діелектрика

; (5)

• результуюче поле в діелектрику

. (6)

З виразів (4) та (6) отримуємо

. (7)

Підставляємо в вираз (7) значення напруженості поля з (6) та густини заряду з виразу (3) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (7)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (7) та отримаємо відповідь:

=

3.106. До батареї з е.р.с у = 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С₁ = 2 пФ і С₂ = 3 пФ. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх послідовному з'єднанні.

3.106.

Дано

= 300 В С1 = 2 пФ С2 = 3 пФ

Q = ? U1 = ? U2 = ?

Рис. 3.106

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала

, (4)

де — електрична ємність батареї конденсаторів.

Напругу U на конденсаторах визначаємо за формулами:

(5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (4) і (5) та отримаємо відповіді:

Q = U₁ = U₂ =

3.107. До батареї з е.р.с у = 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С₁ = 2 пФ і С₂ = 3 пф. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх паралельному з'єднанні.

3.107.

Дано

= 300 В С1 = 2 пФ С2 = 3 пФ

Q1 = ? U = ? Q2 = ?

Рис. 3.107

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Загальний заряд на батареї конденсаторів можна знайти за формулою

, (4)

де — електрична ємність батареї конденсаторів.

Заряд на конденсаторах визначаємо за формулами, а перевірку можна виконати за формулою (4):

(5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (5) та отримаємо відповіді:

Q₁ = Q₂ = U = = 300 В

3.108. Конденсатор ємністю С₁ = 600 пФ зарядили до різниці потенціалів U₁ = 1,5 кВ і відключили від джерела напруги, Потім до нього паралельно приєднали незаряджений конденсатор ємністю С₂ = 400 пФ. Визначити енергію, витрачену на утворення іскри, що проскочила при з'єднанні конденсаторів.

3.108.

Дано

U1 = 1,5 кВ С1 = 600 пФ С2 = 400 пФ

= ?

Рис. 3.108

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Загальний заряд на батареї конденсаторів дорівнюватиме заряду на першому конденсаторі

. (4)

Визначаємо енергію, витрачену на утворення іскри, що проскочила при з'єднанні конденсаторів з закону збереження енергії:

, (5)

де - енергія електричного поля в першому конденсаторі і в паралельному з’єднанні конденсаторів.

Підставляємо заряд з виразу (4) у формулу (5) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.109. Конденсатори ємністю С₁ = 5 мкФ і С₂ = 10 мкФ заряджені до напруги U₁ = 60 В и U₂ = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди.

3.109.

Дано

U1 = 60 В U2 = 100 В С1 = 5 мкФ С2 = 10 мкФ

= ?

Рис. 3.109

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на батареї конденсаторів дорівнює сумі зарядів на кожному з них

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.110. Конденсатор ємністю С₁ = 10 мкФ заряджений до напруги U = 10 В. Визначити заряд на обкладках цього конденсатора після того, як паралельно йому був підключений інший, незаряджений, конденсатор ємністю С₂ = 20 мкФ.

3.110.

Дано

U1 = 10 В U2 = 0 С1 = 10 мкФ С2 = 20 мкФ

= ?

Рис. 3.110

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на першому конденсаторі дорівнюватиме сумі зарядів на кожному з них після з’єднання

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Тоді заряд на першому конденсаторі після з’єднання його з другим дорівнюватиме

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.111. Конденсатори ємностями С₁ = 2 мкФ, С₂ = 5 мкФ і С₃ = 10 мкФ з'єднані послідовно і знаходяться під напругою U = 850 В. Визначити напругу і заряд на першому з конденсаторів.

3.111.

Дано

U = 850 В С1 = 2 мкФ С2 = 5 мкФ С3 = 10 мкФ

= ? = ?

Рис. 3.111

Розв’язок.

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на кожному з них буде однаковий

, (1)

де при послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Підставляємо загальну ємність з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо заряд на першому конденсаторі:

. (3)

Напруга на першому конденсаторі визначаємо за формулою:

. (4)

Заряд з виразу (3) підставляємо у формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку напруги:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (5) і отримаємо відповідь:

= =

3.112. Два конденсатори ємностями С₁ = 2 мкФ і С₂ = 5 мкФ заряджені до напруги U₁ = 100 В та U₂ = 150 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають різнойменні заряди.

3.112.

Дано

U1 = 100 В U2 = 150 В С1 = 2 мкФ С2 = 5 мкФ

= ?

Рис. 3.112

Розв’язок.

Після з'єднання конденсаторів обкладками, що мають різнойменні заряди, частина зарядів нейтралізується і на батареї залишиться заряд:

. (1)

Тоді напруга на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають різнойменні заряди, дорівнюватиме

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.113. Два однакових плоских повітряних конденсатори ємністю 100 пФ кожний з'єднані в батарею послідовно. Визначити, на скільки зміниться ємність цієї батареї, якщо простір між пластинами одного з конденсаторів заповнити парафіном.

3.113.

Дано

С1 = С2 = 100 пФ = 2

= ?

Розв’язок.

Зміну електричної ємності батареї, якщо простір між пластинами одного з конденсаторів, наприклад, другого, заповнити парафіном визначаємо за формулою:

, (1)

де , - ємності батарей конденсаторів до і після заповнення парафіном простору між пластинами другого конденсатора.

При послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Запишемо вирази ємностей отриманих батарей конденсаторів:

(3)

Підставляємо загальні ємності з виразу (3) у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку зміни ємності цієї батареї:

= . (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

3.114. Два конденсатори ємностями С₁ = 5 мкФ і С₂ = 8 мкФ з'єднані послідовно і приєднані до батареї з е.р.с. у = 80 В. Визначити заряд та різницю потенціалів на першому з конденсаторів.

3.114.

Дано

= 80 В С1 = 5 мкФ С2 = 8 мкФ

= ? = ?

Рис. 3.114

Розв’язок.

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на кожному з них буде однаковий

, (1)

де при послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Підставляємо загальну ємність з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо заряд на першому конденсаторі:

. (3)

Напруга на першому конденсаторі визначаємо за формулою:

. (4)

Заряд з виразу (3) підставляємо у формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку напруги:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (5) і отримаємо відповідь:

= =

3.115. Плоский конденсатор складається з двох круглих пластин радіусом R = 10 см кожна. Відстань між пластинами = 2 мм. Конденсатор приєднаний до джерела напруги = 80 В. Визначити заряд Q та напруженість Е поля всередині конденсатора, коли він заповнений склом.

3.115.

Дано

R = 10 см = 80 В = 2 мм = 6

Q = ? Е = ?

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора:

(1)

де = — площа кожної пластини; - відстань між пластинами.

Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала

, (2)

де — електрична ємність провідника.

З формул (2) та (1) отримуємо заряд конденсатора

, (3)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість дорівнює

, (4)

де — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

Q = Е =

3.116. Дві металеві кульки радіусами R₁ = 5 см і R₂ = 10 см мають заряди Q₁ = 40 нКл і Q₂ = - 20 нКл, відповідно. Знайти енергію W яка виділиться при з'єднанні куль провідником.

3.116.

Дано

R1 = 5 см R2 = 10 см Q1 = 40 нКл Q2 = - 20 нКл

= ?

Розв’язок.

Енергію W яка виділиться при з'єднанні куль провідником дорівнюватиме різниці енергій куль до і після з’єднання їх провідником:

. (1)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника

. (2)

Ємність провідної кулі радіуса г

. (3)

Тоді енергія куль до з’єднання дорівнює

. (4)

При з’єднанні куль провідником заряди будуть переміщатися доки потенціали куль не зрівняються, тоді нові заряди куль можна визначити за формулами:

. (5)

А сумарний заряд куль після з’єднання дорівнюватиме

. (6)

З рівнянь (5) та (6) можна визначити заряди куль після їхнього з’єднання:

(7)

тоді енергія електричного поля куль після їхнього з’єднання дорівнюватиме

. (8)

Енергії з виразів (4) та (8) підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (8)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (8) і отримаємо відповідь:

=

3.117. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнено двома шарами діелектрика: скла ( = 6) товщиною d₁ = 0,2 см і шаром парафіну ( = 2) товщиною d₂ = 0,3 см. Різниця потенціалів між обкладками = 300 В. Визначити напруженість Е поля і падіння потенціалу в кожному із шарів.

3.117.

Дано

d1 = 0,2 см = 6 d2 = 0,3 см = 2 = 300 В

= ? = ? = ? = ?

Розв’язок.

Щоб знайти величини , , з'ясуємо зв'язок, що існує між ними і різницею потенціалів . Скористаємося формулою зв’язку між потенціалом і напруженістю поля. Тобто градієнт потенціалу дорівнює напруженості поля

. (1)

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (2)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість

, (4)

де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

Розбивши весь шлях інтегрування на дві частини, які відповідні товщині двох шарів діелектриків (товщиною зазору нехтуємо), і враховуючи, що в межах кожного шару поле однорідне, отримаємо

. (5)

Так як електричний зсув в обох шарах діелектриків має одне і те ж значення, то скорочуючи на запишемо:

. (6)

Вирішуючи спільно рівняння (5) і (6), одержимо:

; . (7)

З формули (5) можна отримати падіння потенціалу в кожному із шарів:

. (8)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (7) та (8) і отримаємо відповіді:

= = = =

` 3.118. Плоский конденсатор з площею пластин S = 200 см² кожна, заряджений до різниці потенціалів = 2 кВ. Відстань між пластинами d = 2 см. Діелектрик – скло ( = 6). Визначити енергію W конденсатора та її густину ω.

3.118.

Дано

S = 200 см2 = 2 кВ = 2 см = 6

W = ? ω = ?

Розв’язок.

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника ємністю і потенціалом дорівнює

. (1)

Для плоского конденсатора електрична ємність дорівнює

(2)

тоді енергію можна визначити за формулами:

, (3)

Об'ємна густина енергії електричного поля

, (4)

де - електричне зміщення, Кл/м². — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

W = ω =

3.119. Конденсатори ємністю С₁ = 5 мкФ і С₂ = 10 мкФ заряджені до напруги U₁ = 60 В и U₂ = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками; що мають однойменні заряди.

3.119.

Дано

U1 = 60 В U2 = 100 В С1 = 5 мкФ С2 = 10 мкФ

= ?

Рис. 3.119

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на батареї конденсаторів дорівнює сумі зарядів на кожному з них

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.120. Скільки витків ніхромового дроту діаметром = 1 мм треба навити на фарфоровий циліндр радіусом = 2,5 см, щоб отримати опір у = 40 Ом?

3.120.

Дано

= 1 мм = 2,5 см = 40 Ом

= ?

Розв’язок.

Кількість витків визначимо як відношення довжин дроту та одного витка:

. (1)

Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу

, (2)

де — питомий опір.

Довжину дроту визначаємо з формули (2) та підставляємо у (1) і получаємо вираз для розрахунку кількості витків:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.121. Резистор з опором R₁ = 5 Ом, вольтметр і джерело струму з'єднані паралельно. Вольтметр показує напруга U₁ = 10 В. Якщо замінити резистор іншим з опором R₂ = 12 Ом, то вольтметр покаже напруга U₂ = 12 В: Визначити е.р.с. і внутрішній опір джерела струму.

3.121.

Рис. 3.121

Дано

R1 = 5 Ом U1 = 10 В R2 = 120 Ом U2 = 12 В

= ? = ?

Розв’язок.

Закон Ома для повного електричного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір кола.

Запишемо формулу цього закону для двох випадків підключення опорів:

. (2)

Знаходимо відношення першого рівняння системи (2) до другого і отримаємо вираз для розрахунку внутрішнього опору джерела струму:

, (3)

З любого рівняння системи (3), наприклад, другого, визначаємо електрорушійну силу джерела струму і підставляємо в одержану формулу значення внутрішнього опору джерела струму :

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) отримаємо відповіді:

= =

3.122. Визначити електричний заряд, що пройшов за = 20 секунд крізь поперечний переріз проводу з опором R = 3 Ом при рівномірному наростанні напруги на його кінцях від U₁ = 2 В до U₂ = 4 В.

3.122.

Дано

= 20 с R = 3 Ом U1 = 2 В U2 = 4 В

= ?

Розв’язок.

С

Рис. 3.122

ила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу

. (1)

Звідки можна отримати вираз для визначення електричного заряду, що проходить через перетин провідника за заданий час:

. (2)

Для визначення рівняння зміни напруги на кінцях проводу, побудуємо графік цієї залежності (див рис. 3.122):

. (2)

Підставляємо рівняння напруги з (2) під знак інтеграла

. (3)

. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.123. Визначити силу струму в електричному колі, що складається з двох джерел живлення з'єднаних однойменними полюсами, з е.р.с. = 1,6 В та = 1,2 В. їх внутрішній опір r₁ = 0,6 Ом, r₂ = 0,4 Ом.

3.123.

Дано

= 1,6 В = 1,2 В r1 = 0,6 Ом r2 = 0,4 Ом

= ?

Рис. 3.123

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на який наносимо напрямок току та електрорушійної сили в кожному джерелі струму. Вибираємо обхід контуру проти годинникової стрілки і записуємо формулу другого закону Кірхгофа:

. (1)

З рівняння (1) отримаємо вираз для розрахунку силу струму в електричному колі:

= (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.124. Гальванічний елемент дає на зовнішній опір у = 0,5 Ом силу струму = 0,2 А. Якщо зовнішній опір замінити на R₂ = 0,8 Ом, то елемент дає силу струму І₂ = 0,15 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.124.

Рис. 3.124

Дано

= 0,5 Ом = 0,2 А R2 = 0,8 Ом І2 = 0,15 А

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

З рівняння (1) можна зробити висновок, що струм короткого замикання отримаємо, якщо зовнішній опір кола дорівнюватиме нулю:

, (2)

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (3)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (1) до другого:

. (4)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (5)

Підставляємо з рівняння (4) та з рівняння (5) в рівняння (2) і отримаємо вираз для розрахунку :

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.125. До джерела струму з е.р.с. = 12 В приєднали зовнішнє навантаження. Напруга на клемах джерела стала при цьому рівною U = 8 В. Визначити у відсотках к.к.д. джерела струму.

3.125.

Дано

= 12 В U = 8 В

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

Помножимо чисельник і знаменник рівняння (1) на струм і, користуючісь формулою закону Ома отримаємо вираз для розрахунку к.к.д.:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.126. Зовнішня ділянка електричного кола споживає потужність Р = 0,75 Вт. Визначити силу струму в мережі, якщо е.р.с. джерела струму становить = 2 В, а його внутрішній опір r = 1 Ом.

3.126.

Дано

= 2 В r = 1 Ом Р = 0,75 Вт

= ?

Розв’язок.

З закону Ома для повного кола можна отримати

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу, тому отримаємо з формули потужності зовнішній опір:

. (2)

З рівнянь (1) та (2) отримаємо квадратне рівняння

, (3)

Розв’язок якого і є виразом для розрахунку струму:

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.127. Сила струму в провіднику змінюється з часом за законом І = 4 + 2t². Який заряд проходить через поперечний перетин провідника за проміжок часу від t₁ = 2 с до t₂ = 6 с?

3.127.

Дано

І = 4 + 2t2 t1 = 2 с t2 = 6 с

= ?

Розв’язок.

Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу

. (1)

Звідки можна отримати вираз для визначення електричного заряду, що проходить через перетин провідника за заданий час:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.128. Сила струму в провіднику з опором R = 10 Ом за час t = 50 с рівномірно наростає від I₁ = 5 А до І₂ = 10 А. Визначити кількість теплоти Q, що виділилося за цей час у провіднику.

3.128.

Дано

R = 10 Ом t = 50 с I1 = 5 А І2 = 10 А

= ?

Рис. 3.128

Розв’язок.

Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),

. (1)

З рис. 3.128 видно, що рівняння цього графіку буде пряма

. (2)

З виразу (1) інтегруванням можна отримати вираз для визначення кількості теплоти, що виділиться в провіднику за заданий час:

.

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.129. При рівномірному зростанні сили струму у провіднику від I₁ = 1 А до І₂ = 2 А за t = 10 секунд виділилася кількість теплоти Q = 5 кДж. Знайти опір R провідника.

3.129.

Дано

I1 = 1 А І2 = 2 А t = 10 с Q = 5 кДж

= ?

Рис. 3.129

Розв’язок.

Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),

. (1)

З рис. 3.129 видно, що рівняння цього графіку буде пряма

. (2)

З виразу (1) інтегруванням можна отримати вираз для визначення кількості теплоти, що виділиться в провіднику за заданий час:

.

. (3)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку опору

. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.130. Який об'єм води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 3 ГВт-г? Початкова температура води = 10°С.

3.130.

Дано

Q = 3∙3600∙109 Дж = 10°С = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

З формули (1) знаходимо який об'єм води можна закип'ятити

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.131. На плитці потужністю = 0,5 кВт стоїть чайник, в який налитий = 1 літр води при температурі = 16°С. Вода в чайнику закипіла через =20 хвилин після вмикання плитки. Яка кількість теплоти Q при цьому втрачена на нагрівання повітря.

3.131.

Дано

= 0,5 кВт = 1 л = 16°С =20 хв = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Витрачена електрична енергія дорівнює

. (2)

Кількість теплоти, яка при цьому втрачена на нагрівання повітря

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.132. = 4,5 літра води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 0,5 кВт-г. Початкова температура води = 23°С. Знайти к.к.д. нагрівника.

3.132.

Дано

Q = 0,5 кВт-г = 4,5 л = 23°С = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Тоді к.к.д. дорівнює

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.133. Температура водяного термостата об'ємом = 1 літр підтримується постійною за допомогою нагрівника потужністю = 26 Вт. На нагрівання води витрачається = 80% цієї потужності. На скільки знизиться температура води в термостаті за = 10 хвилин, якщо нагрівник вимкнути?

3.133.

Дано

= 1 л = 26 Вт = 80% = 10 хв = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Тоді к.к.д. дорівнює

. (2)

З формули (2) отримуємо

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.134. Вольфрамова нитка електричної лампочки при температурі = 20°С має опір R₁ = 35,8 Ом. Яка буде температура нитки, якщо при вмиканні лампочки в мережу напругою = 120 В по ній йде струм = 0,33 А? Температурний коефіцієнт опору вольфраму α =4,6 10^-3 К^-1.

3.134.

Дано

= 20°С R1 = 35,8 Ом = 120 В = 0,33 А α =4,6 10-3 К-1

= ?

Розв’язок.

Питомий опір провідника залежить від його температури

, (1)

де — питомий опір при 0°С; — температурний коефіцієнт опору.

Якщо знехтувати зміною розмірів провідника при зміні його температури, то можна записати, для двох температур провідника, значення їхніх опорів:

, (2)

де - опір провідника при 0°С.

Опір провідника в другому випадку знайдемо за законом Ома, тобто за формулою:

. (3)

Підставляємо опір з виразу (3) у систему рівнянь (2) і знайдемо з відношення цих рівнянь шукану температуру

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.135. Обмотка котушки з мідного дроту при температурі = 14°С має опір = 10 Ом. Після проходження струму, опір обмотки став рівним = 12,2 Ом. До якої температури нагрілася обмотка? Температурний коефіцієнт опору міді α = 4,15 10^-3 К^-1.

3.135.

Дано

= 14°С = 10 Ом = 12,2 Ом α = 4,15 10-3 К-1

= ?

Розв’язок.

Питомий опір провідника залежить від його температури

, (1)

де — питомий опір при 0°С; — температурний коефіцієнт опору.

Якщо знехтувати зміною розмірів провідника при зміні його температури, то можна записати, для двох температур провідника, значення їхніх опорів:

, (2)

де - опір провідника при 0°С.

З відношення рівнянь системи (2) знайдемо шукану температуру

, (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.136. Яку частку е.р.с. елемента живлення складає різниця потенціалів U на його клемах, якщо внутрішній опір елемента r в 10 разів менший зовнішнього опору R.

3.136.

Дано

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

Помножимо чисельник і знаменник рівняння (1) на струм і, користуючись формулою закону Ома отримаємо вираз для розрахунку к.к.д.:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.137. Від батареї, е.р.с. якої = 600 В, потрібно передати енергію на відстань = 1 км. Потужність, що споживається = 5 кВт. Знайти мінімальні втрати потужності в мережі, якщо діаметр мідних проводів, що використовуються = 0,5 см.

3.137.

Дано

= 600 В = 1 км = 5 кВт = 0,5 см

= ?

Розв’язок.

Втрати потужності в мережі визначаємо за формулою

, (1)

де - повна потужність всієї мережі; - струм у мережі; опір двох провідної мережі; = 1,7∙10^-8 Ом∙м – питомий опір.

З рівняння (1) складемо квадратне рівняння

, (2)

Рішення якого матиме вигляд

, (3)

мінімальний струм знаходимо за формулою:

, (4)

У формулу втрати потужності в мережі підставляємо значення струму з формули (4):

, (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.138. При зовнішньому опорі R₁ = 8 Ом сила струму в електричному колі I₁ = 0,8 А, при опорі R₂ = 15 Ом сила струму І₂ = 0,5 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.138.

Рис. 3.138

Дано

= 8 Ом = 0,8 А R2 = 15 Ом І2 = 0,5 А

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

З рівняння (1) можна зробити висновок, що струм короткого замикання отримаємо, якщо зовнішній опір кола дорівнюватиме нулю:

, (2)

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (3)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (1) до другого:

. (4)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (5)

Підставляємо з рівняння (4) та з рівняння (5) в рівняння (2) і отримаємо вираз для розрахунку :

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.139. Два паралельно з'єднаних елемента живлення з однаковими е.р.с. у = 2 В і внутрішніми опорами r₁ = 1 Ом та r₂ = 1,5 Ом, замкнені на зовнішній опір R = 1,4 Ом. Знайти струм І в кожному з елементів живлення.

Рис. 3.139

3.139.

Дано

= 2 В r1 = 1 Ом r2 = 1,5 Ом R = 1,4 Ом

= ? = ?

Розв’язок.

Правила Кірхгофа для розгалужених кіл

1. Алгебраїчна сума всіх сил струмів, що сходяться у вузлі розгалуженого кола, дорівнює нулю:

. (1)

Струми, що входять у вузол, вважають додатними, які виходять — від'ємними, або навпаки.

2. У будь-якому простому замкненому контурі, довільно обраному у розгалуженому електричному колі, алгебраїчна сума добутків сил струмів на опори відповідних ділянок цього контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, що діють у ньому

. (2)

Для вузла та для замкнених контурів і запишемо правила Кірхгофа:

(3)

Рішення знаходимо за формулами (метод Крамера):

, , , (4)

де детермінанти дорівнюють:

системи ; (5)

невідомого ; (6)

невідомого ; (7)

невідомого . (8)

Тоді струми та , знайдемо за формулами (4):

=

140. Напруга на клемах елемента живлення = 2,1 В, опори R₁ = 5 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 3 Ом (див. рис, 3.140). Який струм І показує амперметр?

3.140.

Рис. 3.140

Дано

= 2,1 В = 5 Ом R2 = 6 Ом R3 = 3 Ом

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді напруга на опорах та дорівнюватиме

. (2)

Визначаємо струм, який показує амперметр

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.141. Елемент живлення, опір і амперметр з'єднані послідовно. Елемент має е.р.с. = 2 В і внутрішній опір = 0,4 Ом. Амперметр показує струм І = 1 А. З яким к.к.д. працює елемент?

3.141.

Дано

= 2 В = 0,4 Ом І = 1 А

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

За законом Ома для повного кода можна отримати зовнішній опір:

. (2)

Отриманий опір з рівняння (2) підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для росрахунку к.к.д.:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

142. Е.р.с. батареї живлення = 100 В, опори R₁ = R₂ = 40 Ом, R₃ = 80 Ом і R₄ = 34 Ом. (див. рис. 3.142). Знайти струм I₂ що йде через опір R₂ і падіння потенціалу U₂ на ньому.

3.142.

Рис. 3.142

Дано

= 100 В R1 = R2 = 40 Ом R3 = 80 Ом R4 = 34 Ом

= ? U2 = ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді напруга на опорах , та дорівнюватиме

. (2)

Визначаємо струм, який йде через другий опір

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (3) та (2) і отримаємо відповіді:

= U₂ =

142. Е.р.с. батареї живлення = 120 В, опори R₃ = 20 Ом, R₄ = 25 Ом (див. рис.3.143). Падіння потенціалу на опорі R₁ дорівнює = 40 В. Амперметр показує струм = 2 А. Знайти опір R₂.

3.143.

Рис. 3.143

Дано

= 100 В R3 = 20 Ом, R4 = 25 Ом = 40 В = 2 А

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

З рівняння (1) визначаємо невідомий опір

. (2)

де опір знаходимо за формулою:

. (3)

Тоді опор з виразу (3) підставляємо в формулу (2) і отримаємо розрахунковий вираз:

=. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) і отримаємо відповіді:

=

142. Б

     Рис. 3.144

     атарея з е.р.с. = 10 В і внутрішнім опором = 1 Ом має к.к.д. η = 0,8 (див. рис. 3.144). Падіння потенціалу на опорах R₁ і R₄ рівні U₁ = 4 В і U₄ = 2 В. Яку силу струму показує амперметр? Знайти падіння потенціалу на опорі R₂.

3.144.

Дано

= 10 В = 1 Ом η = 0,8 U1 = 4 В U4 = 2 В

= ? = ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

, (1)

де - загальний опір зовнішнього кола; - падіння напруги на зовнішньому опорі.

З формули (1) отримуємо

, (2)

де - напруга на другому та третьому опорах.

За законом Ома для повного кола та за формулою к.к.д. можна записати систему рівнянь:

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (3) та (2) і отримаємо відповіді:

= =

`

Рис. 3.145

3.145. Е.р.с. батареї = 100 В, опори R₁ = 100 Ом, R₂ = 200 Ом і R₃ = 300 Ом, опір вольтметра R_V = 2 кОм (див. рис. 3.145). Яку різницю потенціалів U показує вольтметр?

3.145.

Дано

= 100 В R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом R3 = 300 Ом, RV = 2 кОм

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді вольтметр показує напругу

. (2)

Струм з формули (1) підставляємо у формулу (2) і отримаємо вираз для розрахунку різниці потенціалів U, яку показує вольтметр:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) і отримаємо відповіді:

=

146. Опори R₁ = R₂ = R₃ = 200 Ом, опір вольтметра R_V = 2 кОм (див рис. 3.146). Вольтметр показує різницю потенціалів U = 100 В. Знайти е.р.с. батареї живлення.

3

Рис. 3.146

.146.

Дано

R1 = 200 Ом, R2 = 200 Ом R3 = 200 Ом, RV = 2 кОм U = 100 В

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

З другого боку загальний струм дорівнює

. (2)

3 рівнянь (1) і (2) отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) і отримаємо відповіді:

=

3.147. Є = 120-вольтова електрична лампочка потужністю = 40 Вт. Який додатковий опір R треба включити послідовно з лампочкою, щоб вона давала нормальне розжарення при напрузі в мережі U₀ = 220 В? Яку довжину ніхромового дроту діаметром = 0,3 мм треба взяти, щоб отримати такий опір?

3.147.

Дано

U = 120 В = 40 Вт U0 = 220 В = 0,3 мм

= ? =?

Рис. 3.147

Розв’язок.

Струм в мережі визначимо з потужності лампи:

. (1)

За законом Ома можна визначити додатковий опір:

. (2)

Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу

, (3)

де = 1∙10^-6 Ом∙м — питомий опір ніхрому.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (2) та (3) і отримаємо відповіді:

= =

3.148. Від генератора з е.р.с. у = 110 В, потрібно передати енергію на відстань L = 250 м. Потужність, що споживається = 1 кВт. Знайти мінімальний перетин S мідних ( = 1,7∙10^-8 Ом∙м) проводів живлення, якщо втрати потужності в мережі не, повинні перевищувати = 1 %.

3.148.

Дано

= 110 В = 250 м = 1 кВт = / = 1 %

= ?

Розв’язок.

Втрати потужності в мережі можна визначити за формулами:

, (1)

де - повна потужність всієї мережі; - струм у мережі; опір двох провідної мережі.

З рівняння (1, б) визначаємо струм і підставляємо його в рівняння (1, а)

, (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.149. Елемент живлення замикають спочатку на зовнішній опір = 2 Ом, а потім на зовнішній опір = 0,5 Ом. Знайти е.р.с. елемента живлення і його внутрішній опір r, якщо відомо, що в кожному з цих випадків потужність, яка виділяється у зовнішньому колі, однакова і дорівнює = 2,54 Вт.

3.138.

Рис. 3.138

Дано

= 2 Ом = 0,5 Ом = 2,54 Вт

= ? = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу

. (1)

Користуючись виразом (1) і умовою задачі, складемо рівняння:

. (2)

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (3)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (4)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (4) до другого та використаємо формулу (2):

. (5)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ в вирази (6) та (5) і отримаємо відповіді:

= =

3.150. Батареї живлення мають е.р.с. = 2 В та = 4 В, опір R₁ = 0,5 Ом (див. рис. 3.150). Падіння потенціалу на опорі R₂ дорівнює = 1 В. Знайти, що показує амперметр.

3

3.150

.150.

Дано

= 2 В = 4 В R1 = 0,5 Ом = 1 В

= ?

Розв’язок.