Методика получения математических моделей
Математические модели можно получить в результате следующих процессов:
1) прямого наблюдения явления - феноменологические модели;
2) в результате дедукции, как частный случай более общей модели - асимптотические модели;
3) в результате индукции, когда новая модель является обобщением элементарных моделей - составные модели или модели ансамбля.
В общем случае процедура получения математической модели включает в себя следующие операции:
1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отображению в математической модели.
2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах.
3. Синтез структуры математической модели. Структура математической модели - это общий вид математических соотношений без конкретизации числовых значений.
4. Расчёт числовых значений параметров математической модели.
5. Оценка точности и адекватности математических моделей. Процесс создания и решения ММ является итерационным и включает следующие шаги:
1) постановку задачи моделирования согласно намеченному объекту моделирования, т.е. разработка ТЗ;
2) выбор метода построения ММ;
3) разработка численного алгоритма решения полученной ММ;
4) создание компьютерной программы, реализующей выбранный алгоритм, отладка, контрольные примеры;
5) проведение расчетов выходных параметров ММ;
6) сравнение расчетных и натурных параметров;
7) поиск новой ММ и переход к шагу 3.
Первым шагом построения ММ является составление уравнений, связывающих все параметры.
Вторым шагом построения ММ является определение начальных и граничных условий. После этого возникает проблема создания математического аппарата для решения составленных уравнений, при этом возникает ряд вопросов: существование решения, его единственность, устойчивость вычислений, учет ошибок, возможность изменения первоначальной ММ для получения разрешимой задачи.
Третьим шагом построения ММ является разработка вычислительного алгоритма. Вычислительный алгоритм - это строгая последовательность арифметических и логических операций, полностью обеспечивающих приближение к решению задачи. Вычислительный алгоритм может быть линейным, циклическим или итерационным. Разработчику вычислительного алгоритма необходимо решить следующие проблемы:
- сходится ли последовательность получаемых результатов к искомому решению;
- если сходится, то как быстро, и к какому пределу;
- какая допускается ошибка.
Преобразования математических моделей
Ранее были определены классы математических моделей. Реализация их на компьютере подразумевает выбор численного метода решения полученных уравнений, который сводит ММ к последовательности элементарных арифметических и логических действий. Процесс преобразования производится автоматически, а инженер - пользователь САПР должен лишь указывать, какие программы ему требуются. Процесс преобразования иллюстрируется рисунком 7.
Рисунок 7 - Процесс преобразования математических моделей
Ветвь 1 соответствует постановке задачи, относящейся к микроуровню, чаще всего в виде дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Численные методы их решения основаны на дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным их множеством, а алгебраизация - в замене производных алгебраическими соотношениями.
Если ДУЧП стационарное, то дискретизацией и алгебраизацией оно сводится к алгебраическим уравнениям (АУ) (ветвь 2). Если ДУЧП нестационарное, то дискретизация и алгебраизация проводится в два этапа - 1) устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), в результате получаются обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и 2) устранение производных по времени (ветвь 4).
Сведение АУ к численному алгоритму производится либо непосредственно (ветвь 5), либо линеаризацией по методу Ньютона (ветвь 6). Решение систем линейных уравнений (СЛАУ) выполняется прямыми методами (ветвь 7), например методом Гаусса.
Ветви 9 соответствует постановка задачи в виде ОДУ. Если система ОДУ нелинейна, то преобразования происходят по ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если система ОДУ линейна, то преобразование проводится по ветви 9.
Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к ОДУ (ветвь 10), либо составляют системы логических уравнений (ветвь 11), сведение которых к численным методам (ветвь 12) не вызывает затруднений.