Математические модели

Моделирование - это замещение одного объекта другим, замещаемый объект называют оригиналом, а замещающий - моделью. В зависимости от цели моделирования одного и того же оригинала можно построить много моделей. (См. плакат).

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, систем или процессов. В ММ входят следующие элементы: константы, переменные, математические выражения, т.е. уравнения или неравенства, связывающие между собой переменные и константы, логические выражения, определяющие ограничения в математической модели, информация (цифры, текст, графики).

Конечная цель создания MM - установление функциональной зависимости выходных параметров системы от входных и внутренних.

Математическое обеспечение автоматизированного проектиро­вания включает в себя математические модели объектов, методы и алгоритмы проектных процедур. К математическим моделям применяются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности. Степень универсальности математической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта, точность математической модели оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и тех же параметров, рассчитанных с помощью математической модели, для этого строится вектор оценок. Адекватность математической модели - это её способность отображать заданные свойства с определённой точностью, а экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов.

Таблица 1 - Классификация математических моделей

Признаки классификации	Описание математической модели
1. Характер отображаемых свойств	Структурные и функциональные
2. Принадлежность к иерархическим уровням	Микроуровень, макроуровень, метауровень
3. По степени детализации, описаний внутри уровня	Полная и макромодели
4. По способу представления свойств объекта	Аналитические, алгоритмические, имитационные
5. По способу получения самой модели	Теоретические и эмпирические

Структурные математические модели делятся на топологические и геометрические. В топологических отображается состав и взаимосвязь элементов объектов, в форме таблиц, матриц, списков, графов. Они применяются при решении задач привязки конструкционных элементов к определенным пространственным позициям, компоновки оборудования, размещения деталей и т.д.

В геометрических моделях отображаются геометрические свойства объектов, в дополнение к их взаимному расположению содержатся сведения о форме и размерах детали. Геометрические модели выражаются совокупностью уравнений линий и поверхностей. Для несложных поверхностей применяют аналитические уравнения. Для более сложных поверхностей применяют алгебрологические модели, описываемые системой алгебраических и логических выражений, отражающих принадлежность точек к областям тела.

Для сложных поверхностей также применяют каркасные и кинематические модели. Каркасные модели представляют собой конечное множество элементов на моделируемых поверхностях, выбор каркаса в виде линии приводит к разбиению поверхности на отдельные участки. При такой кусочно-линейной аппроксимации устраняется главный недостаток аналитической модели (их сложность), т.к. в пределах малых размеров возможно описание поверхности простыми уравнениями.

В кинематических моделях поверхность представляется в виде параметрического уравнения R(U,V), где R есть функция от геометрических координат R(x,y,z), a U и V – параметры. Такую поверхность получают, как результат перемещения в пространстве кривой R(U), называемой образующей, по линии R(V), a R(V) называют направляющей.

Функциональные математические модели предназначены для описания физических или информационных процессов протекающих при изготовлении или функционировании объекта. В зависимости от места в иерархическом описании мат. модели относятся к микро-, макро- и мета-уровням. На микро уровне отображаются процессы, протекающие в реальном пространстве и времени, они описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, в механике описываются поля механических напряжений и деформаций. На макро-уровне процессы обычно описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Независимой переменной выступает время, а состояние элементов описывается фазовыми переменными, такими как сила, скорость, напряжения, давление. Чаще всего описание ведётся простыми дифференциальными уравнениями. По степени детализации для каждого иерархического уровня выделяются полные и макро модели. Полная модель содержит все фазовые переменные, характеризующие состояние всех межэлементных связей. В макромоделях описываются не все связи, а только выделенные.