Постановка задач топологического проектирования

Большинство задач топологического проектирования удается формализовать в виде задач математического программирования.

Алгоритмы математического программирования применяются редко из-за больших запросов на ресурсы ЭВМ. Наиболее развиты комбинаторные алгоритмы. Переборные алгоритмы применяются редко. Чаще применяют последовательные и смешанные. В последовательных в очередной узел добавляется только один элемент, и оптимизация носит локальный характер. В смешанных алгоритмах выделяется множество элементов, обладающих существенными для данной задачи свойствами, и формируется базовый вариант схемы, если качественный показатель базового варианта не удовлетворяет поставленным требованиям, то он улучшается с помощью итерационных алгоритмов. Вариация параметров заключается в перестановках элементов. Задачи трассировки, как правило, решаются в два этапа: распределяют соединения и определяют очередность прокладки; проведение трассировки, определение геометрии соединения. Распределение соединений сводится к построению минимального связующего дерева (алгоритм Прима).

Рисунок 12 - Классификация алгоритмов топологического синтеза

Геометрическое моделирование

Геометрическая модель - совокупность сведений, однозначно определяющих геометрическую форму объектов. Теоретической основой создания геометрических моделей служат аналитическая геометрия, теория множеств, теория графов и алгебра логики. При проектировании геометрические модели применяют для описания геометрических свойств объекта конструирования, решения метрических задач, преобразованиях формы и положения геометрических объектов, ввода графической информации, оформления конструкторской документации. При геометрическом проектировании различают модели: алгоритмические, алгебрологические, канонические, рецепторные, кинематические.

Аналитические модели служат для описания элементарных геометрических объектов, таких, как точка, линия, квадрат, круг и т.д. На их основе получают составные геометрические модели. Каждый участок составной модели описывается своим уравнением. Описание всей модели становится кусочно-аналитическим.

Алгебрологические модели описывают задание плоских фигур и трехмерных областей логической функцией условий, выражающей принадлежность точек тем или иным пространственным областям. На рисунке 13 показан пример описания плоской области с помощью алгебрологических уравнений элементарных фигур.

Рисунок 13 - Задание плоской области алгебрологическими уравнениями

Уравнение сложной области D_o записывается через уравнения элементарных областей D₁ – D₄

D1: x>-6, x<6; y>-6, y<6.

D2: x>0, x<10; y>0, y<9.

D3: (x-6)²+(y+6)²>6.

D4: y<-x+6.

Тогда D_o: (D1D3)(D1D4)D2.

Канонические модели применяются тогда, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие форму объекта. Например, для круга - это положение центра и радиус.

Рецепторные модели в своей основе имеют приближенное представление объекта в поле рецепторов. Для этого строится густая сеть рецепторов, и каждая точка сети имеет значение "истина" или "ложь". Рецептор считается возбужденным, если он включен в контур объекта. Объект описывается двух- или трехмерной матрицей из нулей и единиц.

Кинематические модели представляют поверхности движением линий, модель имеет параметрическую форму. Например, вращение эллипса дает эллипсоид. Вращение прямых - цилиндр или конус. В кинематических моделях используют параметрическую форму записи линий. Например, спираль:

р = iа cos и + ja sin u + kbu (7)

где i, j, k -ортогональные векторы, и - параметр, а и b - константы.

Геометрические макромодели являются математическим описанием типовых геометрических объектов. С помощью макромоделей производится изготовление схем и чертежей. Используя типовые геометрические фрагменты, можно графически представить шестерни, винтовые соединения и т.д., их применяют для изготовления чертежей и схем.

К позиционным задачам относятся определение пересечения или касания тел в процессе их движения, оценка min и max расстояний между телами. Например, задача оценки погрешности обработки детали на станках с ЧПУ.

При решении метрических задач вычисляются площади, объемы, массы, моменты инерции и т.п. Для решения таких задач исходный объект разбивается на элементарные геометрические объекты, для которых известны формулы. В иных случаях используют метод Монте-Карло.