Метод конечных элементов (мкэ)

В математическом отношении МКЭ относится к группе вариационно-разностных задач. К основным достоинствам метода относятся доступность и простота его понимания, применимость метода для задач с произвольной формой области решения и возможность создания на его основе универсальных компьютерных программ.

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравномерной, на отдельные под­области - конечные элементы, и искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего используют полиномы, которые подбирают так, чтобы обеспечить непрерывность в узлах и на границе элементов. В общем случае алгоритм МКЭ состоит из 4-х этапов:

1. Выделение конечных элементов.

2. Определение аппроксимирующей функции для каждого конечного элемента. На данном этапе значение непрерывной функции аппроксимируют полиномом

(4)

где [A] - вектор коэффициентов полинома; {А_о} - свободный член; {R} - вектор координат.

Задача этапа состоит в определении неизвестного вектора [А] и свободных членов {А_о}. Для этого используют условие непрерывности искомой функции в узлах. Коэффициенты полинома {} выражаются через вектор узловых значений функции {Ф} и координаты узлов, проделав эквивалентные преобразования

(5)

где [N] - матрица формы КЭ. Функции формы КЭ получают через координаты самой точки и координаты узлов элемента.

3. Объединение КЭ в ансамбль, на этом этапе происходит объединение уравнений (5) в систему алгебраических уравнений, которая и является моделью искомой функции.

4. Определение векторов узловых значений {Ф}, т.е. решение. Данный этап - наиболее трудоемкая часть МКЭ.

Автоматизация конструкторского проектирования

Основной задачей конструкторского проектирования является реализация функциональных схем, при этом производится конструирование деталей, компоновка узлов, оформляется техническая документация. Одна группа задач конструкторского проектирования определяет геометрические параметры конструкции, а другая группа задач предназначена для синтезирования структуры конструкции с учетом ее функциональных характеристик. Классификация задач конструкторского проектирования приведена на рисунке 11.

Рисунок 11 - Классификация задач конструкторского проектирования

Геометрическое проектирование включает в себя задачи: геометрический синтез, геометрическое моделирование, оформление конструкторской документации. Геометрическое моделирование заключается в решение позиционных и метрических задач. К типовым позиционным задачам относятся: определение принадлежности точки к плоской области, определение координаты пересечения прямой с криволинейной областью, установление факта пересечения криволинейных контуров, установление взаимного расположения плоских и пространственных объектов. На основе типовых позиционных задач решаются следующие конструкторские задачи: определения факта касания или столкновения движущихся деталей, наложения деталей, проверка гарантированных зазоров между деталями, определение погрешности обработки контуров и поверхностей деталей. К метрическим задачам относятся: вычисление длины, площади, периметра, центра масс, момента инерции.

Геометрический синтез включает решение двух групп задач. Первая группа - формирование сложных геометрических объектов из элементарных. Вторая группа – задачи, обеспечивающие получение рациональной формы (облика) детали, узла или агрегата.

В задачи оформления конструкторской документации входит изготовление текстовых и графических документов. Текстовые документы, кроме описательной части, содержат: характеристики и паспортные данные узлов и агрегатов, технические условия на изготовление, сборку, наладку и эксплуатацию и т.п. К графическим документам относят чертежи сборочные и деталировочные, графики кинематических цепей, циклограммы и зависимости для выбора параметров режимов работы оборудования, структурные, функциональные и принципиальные схемы.

Основными задачами топологического проектирования являются задачи компоновки, размещения и трассировки. Наиболее сложная - это компоновка, она состоит из двух этапов: эскизной и рабочей компоновки. Иногда под компоновкой понимают собственно весь процесс конструирования. При решении эскизной части задачи по функциональной схеме разрабатывают общую конструкцию узла. На ее основе составляют рабочую компоновку с детальной проработкой узла. Среди задач компоновки выделяют задачи покрытия и разбиения. Задача покрытия заключается в преобразование функциональной схемы совмещения логических элементов в схему соединения типовых конструктивных элементов. Критерием качества решения задач покрытия является суммарная стоимость, число типовых модулей, число неиспользованных элементов в модулях. В результате решения задач разбиения происходит разделение узла на конструктивно обособленные части. Задачей размещения является определение оптимального расположения элементов, а критерии оптимальности разделяются на метрические (размеры элементов, расстояние между ними) и топологические (число пересечений соединений, близость друг к другу тепловыделяющих элементов). Задача трассировки чаще применяется при проектировании электронных устройств.

Большинство задач конструирования - это задачи структурного синтеза, и их решение основывается на использовании структурных моделей. Однако для анализа качества изделия применение только структурных моделей недостаточно, т. к. они не отражают процесса функционирования изделия. Для полной оценки результатов проектирования применяют методы, характерные для функционального проектирования: метод проб и ошибок (на первом этапе формулируется гипотеза в виде схем и эскизов, на втором этапе с помощью моделирования определяется качество предложенного варианта) - при моделировании задается значение неизвестного параметра, а затем по модели вычисляют другие параметры и оценивают условия работоспособности. Инверсия предполагает изменение на обратные значения каких-либо функций. Применение аналогий уменьшает трудоемкость принятия решений. Метод мозгового штурма - метод коллективного генерирования технических решений.