Подходы к решению задач анализа
К алгоритмам и методам анализа, как и к математическим моделям, предъявляют требования надежности, точности и экономичности. Рассмотрим математическую постановку проектных процедур анализа по рисунку 4.
При анализе динамических процессов решаются ОДУ, которые описываются функционалом в неявном виде: F(dU/dt,U,t)=0; =(U,dU/dt)=0, и для их решения применяют метод численного интегрирования или неявные методы.
Если динамические задачи сводятся к статическим, то этот функционал сводится к системе алгебраических уравнений. Частотный анализ проводят при линеаризации этого функционала, решение задают в виде совокупности синусоид, и проводят алгебраизацию уравнений.
Анализ устойчивости механической системы проводят непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений.
Анализ чувствительности к внешнему воздействию проводят методом приращения, т.е. численным дифференцированием выходных функций.
Статистический анализ проводят методом Монте-Карло - методом статистических испытаний.
Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений обычно применяют итерационные методы, наибольшей скоростью обладает метод Ньютона, но он плохо сходится. Линейные алгебраические уравнения или их системы чаще всего решают методом Гаусса или его модификацией - методом Холесского. Гаусса применяют при числе уравнений до 10000 шт. Численное интегрирование обычно проводят неявными методами, так как явные методы, такие как Рунге Кутта или Адамсона, мало надёжны.
Подходы к решению задач параметрического синтеза
К задачам параметрического синтеза относятся совокупности задач, связанных с определением требований к параметрам объектов и их допускам. Классификация задач параметрического синтеза приведена на рисунке 8.
Рисунок 8 - Задачи параметрического синтеза
Первая группа задач связана с назначением технических требований к выходным параметрам объекта. При нисходящем или внешнем проектировании задача не может быть формализована, т.к. ТЗ на проектирование разрабатывается на основании мнений экспертов. Существенной частью разрабатываемого ТЗ должен быть перечень выходных параметров и технических требований к ним. Формирование вектора технических требований к выходным параметрам проектируемого объекта и является основной задачей параметрического синтеза, решаемой при внешнем проектировании.
Вторая группа задач связана с расчётом параметров объекта при заданной структуре после определения условий работоспособности. Определение параметров подразумевает не только расчет их номинальных значений, но и их допусков. При проектировании сведения о значениях выходных параметров, как правило, весьма приближенные, поэтому под номинальными значениями подразумевают их математические ожидания. В САПР применяют следующие разновидности задач определения параметров.
Задача совмещения решается при известной области допусков, и сводится к такому совмещению областей номинальных значений с областями допусков, при котором вероятность обеспечения условий работоспособности максимальна.
Задача центрирования - частный случай задачи совмещения, когда отсутствуют сведения о характере распределении параметров. Задача сводится к определению центра области допусков, и эту точку принимают за номинальное значение параметра.
Задача оптимизации сводится к задаче математического программирования.
Задача назначения допусков решается при известных номинальных значениях параметров и предположениях о экономически оправданных соотношениях между допусками отдельных параметров. Задача сводится к выбору процента выхода годных изделий при производстве.
Основная задача оптимизации параметров и допусков заключается в определении вектора номинальных параметров и вектора допусков при заданных соотношениях между допусками отдельных параметров.
Третья группа задач связана с определением параметров математических моделей и определения областей их применения. Эти процедуры входят составной частью в методику моделирования.
Большинство задач параметрического синтеза сводится к решению задач математического программирования, заключающееся в определении экстремума целевой функции или функции качества. Целевая функция и ограничения на нее формируются из условий работоспособности. Задача решается в два этапа.
На первом этапе проводится предварительная оптимизация, сводимая к задаче математического программирования. На этом этапе выбирается критерий оптимальности, строится целевая функция, выбирается способ нормирования параметров и ограничения на них. Наиболее популярны частный и минимаксный критерии.
В частном критерии в качестве целевой функции выбирается один из выходных параметров, а для остальных вводят ограничения. Чаще используют минимаксный критерий, при котором в качестве целевой функции выбирается минимальный запас работоспособности по всем выходным параметрам. В первом случае номинальное значение параметров, как правило, получается на границе условий работоспособности, а во втором - в середине его интервала.
Второй этап сводится к вписыванию допусковой области в область условий работоспособности. Здесь допуски заданы и требуется совместить центр области работоспособности с центром допусковой области.