Установление оптимальных условий измерения

Одной из задач теории измерений является установ­ление оптимальных, т. е. наиболее выгодных, условий из­мерений. Оптимальные условия измерений в данном экс­перименте имеют место при δ_np = δ_{np min.} Методика ре­шения этой задачи сводится к следующему. Если исследуется функция с одним неизвестным переменным, то вначале следует взять первую производную по х, при­равнять ее нулю и определить х₁. Если вторая производ­ная по х₁ положительна, то функция (15) в случае х = х₁ имеет минимум. При наличии нескольких пере­менных поступают аналогичным образом, но берут про­изводные по всем переменным x₁,...,x_n. В результате минимизации функций устанавливают оптимальную область измерений (интервал температур, напряжений, силы тока, угла поворота стрелки на приборе и т.д.) каждой функции f(x₁,...,x_n), при которой относительная ошибка измерений минимальна, т.е. δ_xi = min.

Таблица 4. Коэффициент для вычисления предельно допустимой ошибки

n	Значение q при рд
	0,95	0,98	0,99	0,995
2	15,56	38,97	77,96	779,7
3	4,97	8,04	11,46	36,5
4	3,56	5,08	6,58	14,46
5	3,04	4,10	5,04	9,43
6	2,78	3,64	4,36	7,41
7	2,62	3,36	3,96	6,37
8	2,51	3,18	3,71	5,73
9	2,43	3,05	3,54	5,31
10	2,37	2,96	3,41	5,01
12	2,29	2,83	3,23	4,62
14	2,24	2,74	3,12	4,37
16	2,20	2,68	3,04	4,20
18	2,17	2,64	3,00	4,07
20	2,15	2,60	2,93	3,98

В исследованиях часто возникает вопрос о достовер­ности данных, полученных в опытах. Решение такой за­дачи можно проиллюстрировать примером.

Пусть установлена прочность контрольных образцов бетона до виброперемешивания R₁ = Ŕ₁± σ_o = 20 ± 0,5 МПа и прочность бетонных образцов после вибро­перемешивания R₂ =Ŕ₂ ± σ_o = 23 ± 0,6 МПа. Прирост прочности составляет 15%. Это упрочнение относитель­но небольшое, его можно отнести за счет разброса опыт­ных данных. В этом случае следует провести проверку на достоверность экспериментальных данных по условию

x/σ₁ ≥ 3. (21)

В данном случае проверяется разница x = R₁ - R₂ = 3,0 МПа. Ошибка измерения равна σ_o = (σ₁² - σ₂ ² )^1/2, поэтому

(R₁ – R₂) (σ₁² - σ₂ ² )^1/2 = 3,0/(0,25 + 0,36) = 3,84 > 3. (22)

Следовательно, полученный прирост прочности явля­ется достоверным. Выше были рассмотрены общие методы проверки экспериментальных измерений на точность и достовер­ность. Ответственные эксперименты должны быть прове­рены также и на воспроизводимость результатов, т. е. на их повторяемость в определенных пределах измерений с заданной доверительной достоверностью. Суть такой проверки сводится к следующему.

Таблица 5. Результаты измерений и их обработки

xi	xi - x	xi – x1	(xi – x1)2
67	- 8	—7,83	64
67	- 8	—7,83	64
68	- 7	—6,83	49
68	- 7	—6,83	49
69	- 6	—5,83	36
70	- 5	—4,83	25
71	- 4	—3,83	16
73	- 2	—1,83	4
74	-1	—0,83	1
75	0	+0,17	0
76	+1	+ 1,17	1
77	+2	+2,17	4
78	+3	+3,17	9
79	+4	+4,17	16
80	+5	+5,17	25
81	+6	+6,17	36
82	+7	+7,17	49
92	+ 17	+17,27	289
x = =74,83	∑ = = - 3	Проверка - 46,5 +46,5	∑ = =737

Имеется несколько па­раллельных опытов (серий). Для каждой серии вычис­ляют среднеарифметическое значение x₁ (n - число из­мерений в одной серии, принимаемое обычно равным 3...4). Далее вычисляют дисперсию D_i. Чтобы оценить воспроизводимость, рассчитывают критерий Кохрена (расчетный):

k_кр = maxD_i/∑D_i, (23)

где maxDi — наибольшее значение дисперсий из числа рассматриваемых параллельных серий m; ∑D_i сумма дисперсий m серий. Рекомендуется принимать 2≤ m ≤4. Опыты считают воспроизводимыми при

k_кр ≤ k_кт (24)

где k_кт табличное значение критерия Кохрена (табл.6), принимаемое в зависимости от доверительной ве­роятности р_д и числа степеней свободы q = n - 1. Здесь m число серий опытов; n - число измерений в серии.

Таблица 6. Таблица Кохрена К_кт при р_д = 0,95

m	q = n - 1
	1	2		3	4		5		6	8	10		16		36
2	0,99		0,97	0,93		0,90	0,87	0,85		0,81	0,78	0,73		0,66
3	0,97		0,93	0,79		0,74	0,70	0,76		0,63	0,60	0,54		0,47
4	0,90		0,76	0,68		0,62	0,59	0,56		0,51	0,48	0,43		0,36
5	0,84		0,68	0,60		0,54	0,50	0,48		0,44	0,41	0,36		0,26
6	0,78		0,61	0,53		0,48	0,44	0,42		0,38	0,35	0,31		0,25
7	0,72		0,56	0,48		0,43	0,39	0,37		0,34	0,31	0,27		0,23
8	0,68		0,51	0,43		0,39	0,36	0,33		0,30	0,28	0,24		0,20
9	0,64		0,47	0,40		0,35	0,33	0,30		0,28	0,25	0,22		0,18
10	0,60		0,44	0,37		0,33	0,30	0,28		0,25	0,23	0,20		0,16
12	0,57		0,39	0,32		0,29	0,26	0,24		0,22	0,20	0,17		0,14
15	0,47		0,33	0,27		0,24	0,22	0,20		0,18	0,17	0,14		0,11
20	0,39		0,27	0,22		0,19	0,17	0,16		0,14	0,13	0,11		0,08
24	0,34		0,29	0,19		0,16	0,15	0,14		0,12	0,11	0,09		0,07
30	0,29		0,20	0,16		0,14	0,12	0,11		0,10	0,09	0,07		0,06
40	0,24		0,16	0,12		0,10	0,09	0,08		0,07	0,07	0,06		0,04
60	0,17		0,11	0,08		0,07	0,06	0,06		0,05	0,05	0,04		0,02
120	0,09		0,06	0,04		0,04	0,03	0,03		0,02	0,02	0,02		0,01

M - число параллельных серий опытов; q - число степеней свободы; n - число измерений в серии.

Пусть, например, проведено три серии опытов по измерению ширины сварного шва при сварке в среде СО₂ (табл.7). В каждой серии выполнялось по пять измерений (повторностей). Тогда по формуле (23)

K_кр = 2,96/(2,96 + 2,0 + 0,4) = 0,55.

Вычислим число степеней свободы q = n – 1 = 5 - 1 = 4. Так, например, для т = 3 и q = 4 согласно табл.6 значение критерия Кохрена k_кт = 0,74. Так как 0,55 < 0,74, то измерения в эксперименте следует считать воспроиз водимыми. Если бы оказалось наоборот, т.е. k_кр > k_кт, то необходимо было бы увеличить число серий m или число измерений n.