5.4 Решение логических задач методами алгебры логики
Суть применения методов алгебры логики к решению логических задач состоит в том, что, имея конкретные условия логической задачи, стараются записать их в виде формулы алгебры логики, В дальнейшем путем равносильных преобразований упрощают полученную формулу. Простейший вид формулы, как правило, приводит к ответу на все вопросы задачи.
Обычно используется следующая схема решения:
1. Изучается условие задачи.
2. Вводится система обозначений для логических высказываний.
3. Конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи.
4. Определяются значения истинности этой логической формулы.
5. Из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Покажем на ряде конкретных примеров, как использовать возможности алгебры логики для решения элементарных логических задач.
Пример 1. Жили четыре мальчика: Александр, Иван, Петр, Николай. Фамилии друзей те же, что и имена: Александров, Петров, Иванов, Николаев, только такие, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковы. Кроме того, Александр не был Ивановым. Требуется определить фамилию каждого из мальчиков, если известно, что имя мальчика, у которого была фамилия Петров, есть фамилия того мальчика, имя которого - фамилия Николая.
Решение. Поставим в соответствие каждому мальчику символ Ху, где X - имя, a Y - фамилия мальчика. Тогда по условию задачи ложны высказывания:
АА, ИИ, ПП, НН, АИ.
Но есть мальчик УХ такой, что истинна конъюнкция ХП & УХ & НУ.
Очевидно, что Х ≠ П, Х ≠Н, У≠Н, У≠П.
Тогда возможны два случая:
X = А и Y = И,
Х = И и У = А.
Но первый случай невозможен, т.к. по условию Александр не может быть Ивановым АИ = 0.
Следовательно, имеет место второй случай. Значит, Иван имеет фамилию Александров, Николай – Иванов, Александр – Петров, Петр - Николаев.
Пример 2. По подозрению в совершенном преступлеиии задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий - известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом - ложь. Вот, что они утверждали:
Браун: «Я совершил это. Джон не виноват»,
Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит»,
Смит: «Я не виноват» виновен Браун».
Определите имя старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.
Р
ешение.
Обозначим буквами Б, Д и С высказывания:
виноват Браун, виноват Джон, виноват
Смит соответственно. Тогда утверждения,
высказанные задержанными, можно записать
в виде конъюнкций: Б&Д, Б&С, Б&С, из
которых, по условию задачи, две ложны,
а одна истинна.
Поэтому будет истинной формула
L = (Б & Д) v (Б & С) v (Б & С),
Таблица истинности этой формулы имеет вид:
Б |
Д |
С |
Б&Д |
С&Б |
Б&С |
L |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
О тсюда видно, что формула L истинна в пяти из восьми занумерованных случаев. Случай 4 следует исключить из рассмотрения, так как здесь оказываются истинными две конъюнкции, а это противоречит условию задачи. В случаях 2, 3 и 5 оказываются истинными по два высказывания: Б и Д, Б и С, Д и С соответственно, что также противоречит условию задачи. Следовательно, справедлив случай 7, то есть преступник - Смит. Он - известный мошенник, и оба его высказывания ложны: Б & С = 0. При этом высказывания Б и Д ложны. Значит, истинна пара высказываний Джона, а у Брауна первое высказывание ложно, а второе истинно. Отсюда ясно, что Джон - уважаемый в городе старик, а Браун - малоизвестный чиновник.
Пример 3. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".
Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.
Определить, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.
Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:
Россия — "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2); США — "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4); Китай — "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).
Узнаем, кто из министров самый откровенный.
Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.
Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.
Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.
Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.
Приложение алгебры логики в технике связано с устройствами релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно-вычислительной технике и т.д.
Эти устройства (их в общем случае называют переключательными схемами) содержат сотни реле, электронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно. Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования РКС стало остро необходимым.
Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы. Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.
С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.
Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами. Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:
1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи, кнопочные устройства и т. д.), электромагнитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;
2) соединяющих их проводников;
3) входов в схему и выходов из нее (клемм, на которые подается электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.
Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются.
Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым». Рассмотрим простейшую схему, содержащую один переключатель Р и имеющую один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказывание р, гласящее: «Переключатель Р замкнут». Если р истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если р ложно, то переключатель.разомкнут, и схема тока не проводит или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс А максимального напряжения.
Если принять во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема (рисунок 15).
А В
Р
Рисунок 15 – Переключательная схема
Формулам включающим основные логические операции, также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.
Конъюнкция двух высказываний р и q будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей Р и Q (рисунок 16) .
А В
