4.3 Выпуклость и вогнутость

Общая задача математического программирования является сложной и до сих пор не имеет полного решения. Некоторые из встречающихся трудностей можно проиллюстрировать графически.

1) Ограничения в виде неравенств:

а) ограничениями можно пренебречь;

б) ограничениями и можно пренебречь.

Некоторые трудности устраняются, если ограничиться случаем, когда область ограничений выпукла, а минимизируемая (максимизируемая) функция выпукла (вогнута).

Область является выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей любые две точки, принадлежит этой области. Следовательно, если и находятся в этой области, то любая точка вида , где , находится в этой же области.

Функция является выпуклой на области , если для любых двух точек и выполняется соотношение

при .

Для функции одной переменной это означает, что она лежит ниже хорды, соединяющей любые две её точки.

Для вогнутой функции знак неравенства заменяется на противоположный. Есть еще два важных свойства выпуклых (вогнутых) функций.

1 Если функция выпукла на выпуклой области и и , то .

Для вогнутых функций знак неравенства меняется на противоположный.

2 Функция выпукла, если Гессиан

положительно определен.

5 Методы поиска для решения задач условной оптимизации

5.1 Модифицированный метод Хука-Дживса

С целью решения задач нелинейного программирования находят применение методы прямого поиска. Эти методы поиска можно модифицировать и для учета ограничений. Для этого достаточно при решении задачи минимизации присвоить целевой функции большое значение там, где ограничения нарушаются.

Если каждая точка, полученная в процессе поиска, принадлежит области ограничений, то целевая функция вычисляется обычным путем. Если нет, то целевой функции присваивается очень большое значение.

Таким образом, поиск будет осуществляться снова в допустимой области по направлению к минимальной точке внутри этой области.

5.2 Комплексный метод

Метод Бокса, разработанный в 1964 году, является модификацией метода Нелдера-Мида, однако позволяет учитывать ограничения. Бокс назвал его комплексным методом.

Решаемая задача состоит в минимизации функции , где определяется явными ограничениями

при

а также неявными ограничениями

при .

Если целевая функция выпукла и функции тоже выпуклы, то задача будет иметь единственное решение. Если в конкретной задаче заданные переменные теоретически не имеют ограничений, то предположение о наличии у них “безопасных “ границ, т.е. границ, включающих оптимум, позволит применить комплексный метод.

Метод является итерационным. Предполагается, что известны значения и , и и начальная точка , удовлетворяющая всем ограничениям. Необходимо выбрать точек, которые удовлетворяют ограничениям, а также вычислить целевую функцию во всех точках. Множество этих точек называется комплексом. Бокс обнаружил, что должно быть больше - числа точек, используемых в симплексном методе Нелдера-Мида, и положил .

Одна вершина комплекса - задана. Остальные точки, удовлетворяющие явным ограничениям, могут быть выбраны следующим образом:

,

где

;

псевдослучайная равномерно распределённая переменная в интервале .

Если точки удовлетворяют и неявным ограничениям, то они принимаются в качестве начальных точек комплекса. Если не удовлетворяют неявным ограничениям, то она смещается на половину расстояния к центру тяжести множества уже принятых точек, т.е. формируется точка

где .

Если является недопустимой, то выбирают новую точку и т.д.

Затем нужно упорядочить точки комплекса.

Шаги процедуры поиска:

а) находят точку с наибольшим значением функции и находят центр тяжести остальных точек;

б) выполняют шаг отражения:

,

где коэффициент отражения;

в) проверяют, является ли точка допустимой?

1) Если точка не является допустимой и не выполняется ограничение для , то принимают ; если не выполняется ограничение для , то принимают (где малая величина).

2) Если не выполняется хотя бы одно неявное ограничение, то точка

перемещается на половину расстояния к центру тяжести :

.

Затем производится повторная проверка на допустимость точки (повторяют шаг ). Шаг повторяют до тех пор, пока не будет получена допустимая точка;

г) если точка является допустимой, то вычисляется значение функции и сравнивается с .

1) Если выполняется условие , то точка смещается на половину расстояния к центру и процесс повторяется, начиная с шага .

2) Если выполняется условие , то точка заменяется на точку . Проверяется сходимость и если она не достигнута, то процесс поиска повторяется, начиная с шага а;

д) для проверки сходимости вычисляются среднее значение функции и среднее квадратичное отклонение :

;

.

Величина проверяется на сходимость.

Выбор и являются эмпирическим правилом, предложенным Боксом. Первое значение частично предотвращает преждевременное сжатие комплекса. Коэффициент отражения позволяет комплексу расширяться и перемещаться в нужном направлении. Перемещение на половину расстояния к центру тяжести сжимает комплекс. Поэтому комплекс может перемещаться внутри допустимой области вдоль границ и огибать углы в местах пересечения ограничений.

Комплексный метод применим к широкому кругу задач с ограничениями. Если целевая функция выпукла и, кроме того, выпукла область ограничений, то применение метода будет успешным, хотя некоторые особенности задачи могут потребовать модификации критерия завершения. Если целевая функция вогнута или область ограничений не выпукла, поиск этим методом может закончиться неудачей.

Реализуя поиск комплексным методом, необходимо обратить внимание на проверку того, что найден был не локальный, а глобальный минимум. Бокс полагает, что, проведя более одного запуска программы при различных начальных точках, можно решить эту проблему с помощью рассмотренного метода. Случайный характер формирования начального комплекса означает, что первоначально формируется хорошее покрытие области ограничений и поэтому существует тенденция сходимости к глобальному минимуму. Сходимость к одному и тому же значению при нескольких запусках программы подтверждает это.