Метод перетворення Лапласа.
В цьому розділі буде продемонстровано, на попередніх прикладах, метод рішення диференційних рівнянь методом перетворення Лапласа. Використання тих же прикладів дозволить спів ставляти можливості різних методів.
В першу чергу розглянемо диференційне рівняння, що описує витрату реагенту реакції першого порядку:
Використовуючи до цього рівняння пряме перетворення Лапласа отримуємо:
де
--
образ концентрації реагенту після
перетворення Лапласа. З рівняння можна
записати:
Використовуючи зворотне перетворення Лапласа до отримуємо наступний результат:
Отримане рівняння, з точністю до стехіометричного коефіцієнту (в даному прикладі він рахувався рівним 1), співпадає з рівнянням , яке було отримане методом розділення перемінних. Звичайно, використання перетворення Лапласа не завжди приводить до такого стрімкого результату. Навіть не можна стверджувати, що даний метод може замінити всі інші методи при рішенні диференційних рівнянь. Даний приклад просто ілюструє основну схему використання методу Лапласа – до диференційного рівняння використовується пряме перетворення Лапласа, після цього робляться необхідні спрощення, а рішення отримується в результаті зворотного перетворення Лапласа.
Розглянемо метод Лапласа до системи диференційних рівнянь , що побудовані на основі схеми . Для пошуку рішення застосуємо до цих диференційних рівнянь перетворення Лапласа. В результаті отримаємо наступні алгебраїчні рівняння для реагенту A:
,
та продукту B:
де, як і в попередньому випадку,
та
-- образи по Лапласу концентрацій [A] та
[B].
Вирішуючи рівняння та відносно образів отримуємо:
та
Враховуючи, що
можна виконати зворотне перетворення Лапласа рівнянь та , що приводить до результату:
та
які є повністю тотожними .
Інтегральні рівняння кінетики хімічних реакцій в періодичних уставках.
Викладені в попередньому розділі методи вирішення диференціальних рівнянь далеко не вичерпують всіх можливих варіантів рішення, але значна кількість рівнянь формальної кінетики отримується через дані методи. В межах формальної кінетики отримано цілий ряд інтегральних форм кінетичних рівнянь. Рівняння, що найбільш часто використовуються приведені в таблиці ___. Процес інтегрування частини з них приведений вище. Решта приводиться без виводу, який легко знайти в відповідній літературі або отримати самостійно, використовуючи алгоритми, що описані вище.