4. Добування кореня го степеня з комплексного числа

Означення 4.1. Коренем го степеня з комплексного числа називається будь-яке комплексне число, й степінь якого дорівнює .

Нехай дано комплексне число , тоді

;

.

Використовуючи рівність комплексних чисел в тригонометричній формі (два комплексні числа рівні в тригонометричній формі, коли рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне ).

;

;

;

.

Так як комплексне число має рівно різних значень кореня го степеня з цього числа, то буде набувати значень від до або від до  .

Якщо

;

;

;

…

.

Коли дорівнює отримаємо аргументи, які відрізняються один від одного на число, кратне . Отже, кожне комплексне число, відмінне від нуля, має коренів го степеня.

Приклад 4.1. Обчислити: [9]

1)

Розв’язання. Запишемо число в тригонометричній формі:

. За формулою знаходження го степеня маємо:

Звідси отримуємо:

2)

3)

4.1. Добування кореня го степеня з одиниці

Число 1, як відомо, в тригонометричній формі записується так:

. Тому за формулою , отримаємо .

Значення називають коренями го степеня з 1, будемо позначати їх символами . Звідси , . Якщо число – парне, тобто , то дійсними коренями з 1 будуть корені і ; якщо ж число – непарне, тобто , то дійсним буде тільки корінь .

Обчислення коренів шостого степеня з одиниці, побудова таблиці Келі для операції множення.

;

;

; ;

.

Знайдені результати заносимо до таблиці. Побудована таблиця – це таблиця Келі.

Таблиця Келі

Для кожного елемента з множини коренів шостого степеня з одиниці легко знайти обернений елемент (для елемента оберненим буде , для - і т.д.):

;

.

Отже, обернений елемент для .

Якщо побудувати на комплексній площині комплексні числа , то легко бачити, що вони є вершинами правильного кутника, вписаного в коло одиничного радіуса з центром в початку координат, причому корінь зображається вершиною, що лежить на дійсній додатній піввісі. Звідси слідує, що корені із 1, що не є дійсними числами, розташовані попарно симетрично відносно дійсної осі і, отже, попарно спряжені (мал. 4.1). З вище сказаного слідує, що множина коренів го степеня з 1 утворює мультиплікативну групу.

Малюнок 4.1.

З формули , слідує, що квадратний корінь із 1 має два значення: і , корінь четвертого степеня із 1 – 4 значення: . Корінь третього степеня із 1 має три значення:

Серед коренів 6-го степеня з 1 є і , і . Перші два з них є квадратними коренями з 1, а перший і останніх два – кубічними коренями з 1.

Але, яким би не було натуральне число , серед коренів го степеня з 1 є такі, які не є коренями з 1 ніякого меншого степеня: таким, зокрема, є корінь , оскільки для будь-якого натурального маємо

Такі корені називаються первісними коренями го степеня з 1.

Означення 4.2. Корінь го степеня з 1 називається первісним, якщо він не є коренем із 1 ніякого меншого степеня.

При будь-якому корінь є первісним. Крім є і інші первісні корені го степеня з 1.

Корені го степеня з 1

є первісними тоді й тільки тоді, коли число взаємно просте з числом .