3. Тригонометрична форма комплексного числа.

Означення 3.1. Запис числа у вигляді називається алгебраїчною формою запису комплексного числа.

Крім алгебраїчної форми використовують й інші форми запису комплексних чисел – тригонометричну і показникову. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.

3.1. Модуль та аргумент комплексного числа.

Побудуємо радіус-вектор , що є геометричним образом комплексного числа (малюнок 3.1).

Малюнок 3.1.

Означення 3.2. Довжина радіус-вектора називається модулем комплексного числа. Число перетворюється на нуль тільки за умов

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

Нехай радіус-вектор зображує комплексне число (мал. 3.1).

Позначимо кут, який утворює вектор з додатнім напрямком вісі . Отже, зображує кут, на який треба повернути додатній напрямок осі , щоб він співпав з напрямком радіус-вектора, вважаючи цей кут додатнім, якщо обертання здійснюється проти часової стрілки, а від’ємним – в протилежному випадку. Це число називається аргументом комплексного числа і позначається через . Очевидно, що .

Для кожного числа його аргумент має безкінечну множину значень, що відрізняються одне від одного на кратне . Число – це єдине комплексне число, аргумент якого невизначений. Так як і являються полярними координатами точки , то маємо: , і, відповідно, .

Означення 3.3. Форма комплексного числа називається тригонометричною (мал. 3.2).

Малюнок 3.2.

Приклад 3.1. Знайти модулі даних комплексних чисел: (створено і розв’язано автором)

1)

2)

3)

4)

Приклад 3.2.

1. Знайти головне значення аргументу даних комплексних чисел: [8]

1) ;

Розв’язання. Маємо: . Оскільки та , радіус-вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить І чверті і тому – гострий кут. Отже, .

2) ;

Розв’язання. Маємо: . Тут і , тобто радіус-вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить ІІ чверті. Отже, .

3) ;

Розв’язання. Маємо: . Радіус-вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить ІІІ чверті. Отже, .

4) ;

Розв’язання. Маємо: . Тут . Радіус-вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить IV чверті. Отже, .

Задача. Серед усіх комплексних чисел , які задовольняють умови і знайти число, що має найбільший аргумент. [3]

Малюнок 3.3.

Розв’язання. Зобразимо на комплексній площині (мал. 3.3) множину всіх комплексних чисел , які задовольняють задані умови. Першу з них задовольняють усі точки, що лежать поза колом та на колі з центром у початку координат і радіусом 2. Другу умову задовольняють усі точки круга з центром у точці і радіусом .

Заштрихована фігура і є зображенням усіх комплексних чисел, які задовольняють задані умови.

Оскільки , то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора . Це означає, що пряма є дотичною до кола з центром у точці і радіусом у точці матиме найбільший аргумент. Шукане число є розв’язком системи рівнянь

Запишемо систему так

де . Тоді

Отже, шукане число є .