2.2. Множення та ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі

Означення 2.4. Добутком комплексних чисел і називається комплексне число .

Суть і доцільність цього означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме Замінюючи, за означенням, на , дістанемо: Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

Дану формулу не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів і з наступною заміною на .

Із означення слідують наступні закони множення:

1. Комутативність множення .

2. Асоціативність множення .

3. Дистрибутивність множення відносно додавання .

Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.

Означення 2.5. Часткою комплексних чисел та називається таке комплексне число , яке при множенні на дає .

Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.

Доведемо, що частка комплексних чисел та визначена і до того ж однозначно, якщо Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число , яке при множенні на дає . За означенням дії ділення, Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: З умови рівності двох комплексних чисел випливає:

Система має єдиний розв’язок:

Із доведення випливає, що ділення комплексних чисел відбувається за таким правилом:

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це: .

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклад 2.3. Виконати множення комплексних чисел: (створено і розв’язано автором)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: , тобто

Приклад 2.4. Обчислити добуток спряжених комплексних чисел: (створено і розв’язано автором)

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Читаючи рівність справа наліво, робимо висновок, що суму квадратів будь-яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно-спряжених множників.

Приклад 2.5. Розкласти на множники двочлени: (створено і розв’язано автором)

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Приклад 2.6. Знайти частку комплексних чисел: (створено і розв’язано автором)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

2.3. Піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням,

Користуючись рівністю , визначимо кілька послідовних степенів уявної одиниці:

Оскільки то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на .

Означення 2.6. Якщо комплексне число задане в алгебраїчній формі, тобто , то для піднесення його до додатного цілого степеня потрібно до виразу застосувати формулу бінома Ньютона і потім при будь-якому невід’ємному цілому взяти , , , .

Приклад 2.7. Піднести до степеня двочлени: (створено і розв’язано автором)

Рівності , корисно запам’ятати, бо їх часто використовують.