Приклади розв’язування задач

Задача 7.4. Многочлен

має чисто уявний корінь, тобто корінь виду , де — дійсне число. Знайти дійсне число та всі корені цього многочлена. [13]

Розв'язання:

Оскільки — корінь многочлена, то

Комплексне число дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його дійсна й уявна частини дорівнюють нулю:

Враховуючи умову , з останньої рівності отримаємо:

.

Оскільки многочлен з дійсними коефіцієнтами разом з коренем має коренем і комплексно спряжене число , то коренями даного многочлена будуть та . Тоді . За встановленим вище, многочлен в цьому випадку ділиться на добуток відповідних лінійних двочленів:

Виконавши ділення, отримаємо:

Решта коренів многочлена є коренями квадратного тричлена , тобто

Задача 7.5. Корені многочлена з дійсними коефіцієнтами

утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці корені і невідомий коефіцієнт . [13]

Розв'язання:

Нехай корені многочлена у вказаному порядку утворюють арифметичну прогресію, тобто . Крім того, за формулами Вієта

З перших двох рівностей дістанемо:

Підставляючи отримані значення в третю і четверту рівності, отримаємо:

, звідки

З рівностей випливає, що є коренями квадратного тричлена , тобто . Отже, можна взяти . Тому многочлен має корені , що утворюють арифметичну прогресію із різницею .

Задача 7.6. Знайти суму квадратів коренів рівняння [13]

Розв'язання:

Нехай — корені даного рівняння. Тоді за формулами Вієта

Знайдемо суму квадратів коренів:

Звідси випливає, що серед коренів є комплексні числа, оскільки сума квадратів дійсних чисел не може бути від'ємною. Отже, один з коренів цього рівняння є дійсним числом, а два інші — комплексно спряжені числа.

7.3. Застосування комплексних чисел до розв'язування тригонометричних задач

Використовуючи поданий раніше теоретичний матеріал, покажемо застосування комплексних чисел для розв’язування тригонометричних задач.

Приклади розв’язування задач

Задача 7.7. Знайти точні значення і , обчислюючи двома способами частку [14]

Розв'язання:

Виконавши обчислення в алгебраїчній формі, матимемо:

Щоб знайти частку іншим способом, подамо ділене і дільник у тригонометричній формі:

Виконавши ділення в тригонометричній формі, отримаємо:

, тобто

Отже,

Задача 7.8. Виразити і через тригонометричні функції аргументу . [14]

Розв'язання:

Обчислимо двома способами. За формулою Муавра дістанемо:

За формулою бінома Ньютона для показника матимемо:

Отже,

звідки

Тому

(на останньому етапі перетворень ми поділили почленно чисельник і знаменник на ).

Задача 7.9. Виразити і лінійно через тригонометричні функції кратного аргументу. [14]

Розв'язання:

Розглянемо комплексне число

Тоді

звідки

Аналогічно для довільного натурального отримаємо:

Використовуючи дані співвідношення і формулу бінома Ньютона, матимемо:

7.4. Комплексні числа при розв'язуванні геометричних задач в шкільному курсі математики

Використовуючи поданий раніше теоретичний матеріал, покажемо застосування комплексних чисел для розв’язування тригонометричних задач.